6.

Đặt hệ trục tọa độ với B là gốc tọa độ.

Phương trình đường tròn (B;AB) là:

\(x^2+y^2=6^2\Rightarrow y=\sqrt{36-x^2}\) (khai căn lấy dấu dương do nửa đường tròn nằm phía trên)

Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm AB nên tọa độ tâm (0;3) và bán kính AB/2=3 nên có pt:

\(x^2+\left(y-3\right)^2=9\)

\(\Rightarrow y=\sqrt{9-x^2}+3\) (khai căn vẫn lấy dấu dương do phần đường cong AH nằm ở nửa trên đường tròn)

Đường tròn đường kính AD có tâm (3;6) bán kính AD/2=3 nên có pt:

\(\left(x-3\right)^2+\left(y-6\right)^2=9\)

\(\Rightarrow y=-\sqrt{9-\left(x-3\right)^2}+6\) (khai căn lấy dấu âm do đây là nửa dưới đường tròn)

Hoành độ H là nghiệm: \(\sqrt{9-x^2}+3=-\sqrt{9-\left(x-3\right)^2}+6\)

SOLVE được \(x_H=3\)

Hoành độ K là nghiệm: 

\(\sqrt{36-x^2}=-\sqrt{9-\left(x-3\right)^2}+6\)

SOLVE được \(x_K=\dfrac{24}{5}\)

Do đó:

\(S=\int\limits^3_0\left|\sqrt{36-x^2}-\left(\sqrt{9-x^2}+3\right)\right|dx+\int\limits^{\dfrac{24}{5}}_3\left|\sqrt{36-x^2}-\left(-\sqrt{9-\left(x-3\right)^2}+6\right)\right|dx\)

5.

Gọi \(A_i\) là biến cố: "5 con thỏ được chọn ra từ chuồng thứ i"

Coi như có 6 chuồng, trong đó có 3 chuồng I, 2 chuồng II, 1 chuồng III

Suy ra \(P\left(A_1\right)=\dfrac{3}{3+2+1}=\dfrac{1}{2};P\left(A_2\right)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3};P\left(A_3\right)=\dfrac{1}{6}\)

B là biến cố: "trong 5 con thỏ được chọn ra có 3 con thỏ trắng"

Ta có: \(P\left(B|A_1\right)=\dfrac{C_{10}^3.C_5^2}{C_{15}^5}=...\)

\(P\left(B|A_2\right)=\dfrac{C_3^3.C_7^2}{C_{10}^5}=...\)

\(P\left(B|A_3\right)=\dfrac{C_6^3.C_6^2}{C_{12}^5}\)

Khi đó:

\(P\left(B\right)=P\left(B|A_1\right).P\left(A_1\right)+P\left(B|A_2\right).P\left(A_2\right)+P\left(B|A_3\right).P\left(A_3\right)=...\)

4.

Lấy điểm M trên DH sao cho DM=AE

Ta có: \(2\left(AE+DH\right)=16\Rightarrow AE+DH=8\Rightarrow AE=8-DH\)

\(MH=DH-DM=DH-AE=2DH-8\)

\(\Rightarrow DH=\dfrac{MH+8}{2}\)

\(sin\widehat{HEM}=\dfrac{1}{\sqrt{101}}\Rightarrow\dfrac{MH}{EH}=\dfrac{1}{\sqrt{101}}\)

\(\Rightarrow101MH^2=EH^2=MH^2+AD^2\) (pitago)

\(\Rightarrow101MH^2=MH^2+10^2\)

\(\Rightarrow100MH^2=100\Rightarrow MH=1\)

\(\Rightarrow DH=\dfrac{MH+8}{2}=\dfrac{9}{2}\Rightarrow AE=8-DH=\dfrac{7}{2}\)

3.

Phương trình đường thẳng (d) chuyển động của cáp treo (đi qua A và có vtcp u):

\(\left\{{}\begin{matrix}x=8-3t\\y=1+4t\\z=2\end{matrix}\right.\)

Việc bây giờ là tìm hình chiếu vuông góc B của A lên (d) (khi đó AB là khoảng ngắn nhất)

Pt mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc (d):

\(-3x+4y=0\)

Giao của (d) và (P) thỏa mãn:

\(-3\left(8-3t\right)+4\left(1+4t\right)=0\Rightarrow t=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow B\left(\dfrac{28}{5};\dfrac{21}{5};2\right)\)

\(\Rightarrow t=\dfrac{AB}{v}=\dfrac{\sqrt{\left(\dfrac{28}{5}-8\right)^2+\left(\dfrac{21}{5}-1\right)^2+\left(2-2\right)^2}}{1,6}\)

\(A_n\) là biến cố: ngày thứ n di chuyển bằng xe máy

\(B_n\) là biến cố: ngày thứ n di chuyển bằng tàu điện

\(\Rightarrow P\left(A_n\right)+P\left(B_n\right)=1\)

Ngày hôm trước đi bằng tàu điện thì xác suất hôm sau đi bằng xe máy là 0,35 nên:

\(P\left(A_n|B_{n-1}\right)=0,35\) \(\Rightarrow P\left(B_n|B_{n-1}\right)=1-0,35\)

Ngày hôm trước đi bằng xe máy thì xác suất hôm sau di chuyển bằng tàu điện là 0,8 nên:

\(P\left(B_n|A_{n-1}\right)=0,8\Rightarrow P\left(A_n|A_{n-1}\right)=1-0,8=0,2\)

Do đó:

\(P\left(A_n\right)=P\left(A_n|A_{n-1}\right).P\left(A_{n-1}\right)+P\left(A_n|B_{n-1}\right).P\left(B_{n-1}\right)\)

\(=P\left(A_n|A_{n-1}\right).P\left(A_{n-1}\right)+P\left(A_n|B_{n-1}\right).\left[1-P\left(A_{n-1}\right)\right]\)

\(=P\left(A_{n-1}\right).\left[P\left(A_n|A_{n-1}\right)-P\left(A_n|B_{n-1}\right)\right]+P\left(A_n|B_{n-1}\right)\)

Thay số:

\(P\left(A_n\right)=P\left(A_{n-1}\right).\left(0,2-0,35\right)+0,35=0,35-0,15.P\left(A_{n-1}\right)\)

Từ giả thiết \(P\left(A_1\right)=0\)

Nhập vào casio \(0\) rồi "=", sau đó nhập \(0,35-0,15Ans\), ngày thứ 28 thì bấm thêm 27 lần là ra kết quả

Nó hội tụ về khoảng \(\dfrac{7}{23}\)

Số tiền cần trả góp:

\(15,79.0,8=12,632\) (triệu)

ráp công thức lãi kép trả góp:

\(12,632.\left(1+1\%\right)^{12}=\dfrac{M}{1\%}.\left[\left(1+1\%\right)^{12}-1\right]\)

\(\Rightarrow M\approx1,122\) (triệu)

Số tiền nhiều hơn:

\(1,122.12-12,632=0,84\) triệu

c.

Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến (O) tại K và đường thẳng AB 

\(\Rightarrow E\) là điểm cố định

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OKE:

\(OK^2=OC.OE\)

Mà \(OK=OM=R\Rightarrow OM^2=OC.OE\Rightarrow\dfrac{OM}{OC}=\dfrac{OE}{OM}\) (3)

Lại có \(\widehat{MOC}\) là góc chung (4)

Từ (3),(4) \(\Rightarrow\Delta EOM\sim\Delta MOC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OME}=\widehat{OCM}\) (5)

Tứ giác ACHN nội tiếp (N và C cùng nhìn AH dưới 1 góc vuông) \(\Rightarrow\widehat{HCN}=\widehat{HAN}\) (cùng chắn HN)

Tứ giác ACMD nội tiếp (theo cm câu a) \(\Rightarrow\widehat{HAN}=\widehat{HCM}\) (cùng chắn DM)

\(\Rightarrow\widehat{HCN}=\widehat{HCM}\)

Mà \(\widehat{HCN}+\widehat{NCA}=\widehat{HCM}+\widehat{OCM}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{NCA}=\widehat{OCM}\)  (6)

Theo cm câu b,  \(\widehat{NCA}=\widehat{OMN}\) (7)

(5);(6);(7)\(\Rightarrow\widehat{OME}=\widehat{OMN}\)

\(\Rightarrow M,N,E\) thẳng hàng

Hay MN đi qua E cố định khi M di động

a. Em tự giải

b.

Do AB là đường kính \(\Rightarrow\widehat{ANB}=90^0\) (nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow BH\perp AN\) (1)

Mặt khác \(\widehat{AMB}=90^0\) (nt chắn nửa đường tròn) 

\(\Rightarrow AM\perp BD\Rightarrow H\) là trực tâm tam giác ABD

\(\Rightarrow BH\) là đường cao thứ 3

\(\Rightarrow BH\perp AD\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow A;N;D\) thẳng hàng 

\(\Rightarrow\widehat{BND}=180^0-\widehat{AND}=90^0\)

\(\Rightarrow\) C, N cùng nhìn BD dưới 1 góc vuông nên BCND nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{CDN}=\widehat{CBN}\) (cùng chắn CN)

Xét hai tam giác CAD và CHB có:

\(\widehat{ACD}=\widehat{HCB}=90^0\)

\(\widehat{CDN}=\widehat{CBN}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta CAD\sim\Delta CHB\Rightarrow\dfrac{CA}{CH}=\dfrac{CD}{CB}\Rightarrow CA.CB=CH.CD\)

Do \(OA=OM=R\Rightarrow\Delta OAM\) cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{OMA}=\widehat{OAM}\)

Lại có \(\widehat{NMA}=\widehat{NBA}\) (cùng chắn AN)

\(\Rightarrow\widehat{OMA}+\widehat{NMA}=\widehat{OAM}+\widehat{NBA}\)

\(\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{OAM}+\widehat{NBA}=180^0-\widehat{AHB}\) (tổng 3 góc trong tam giác AHB)

\(\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{NHA}\) (do \(\widehat{NHA}+\widehat{AHB}=180^0\) kề bù)

Mặt khác N và C cùng nhìn AH dưới 1 góc vuông nên ACHN nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{NHA}=\widehat{NCA}\) (cùng chắn AN)

\(\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{NCA}\)