Áp dụng BĐT \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Ta có:

\(A^2=\left(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\right)^2\ge3\left(\frac{yz}{x}\cdot\frac{zx}{y}+\frac{yz}{x}\cdot\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\cdot\frac{xy}{z}\right)=3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow A^2\ge\frac94\Rightarrow A\ge\frac32\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac12\)

Nếu có thêm điều kiện a;b;c dương thì:

\(a^4+b^4+b^4\ge\frac13\left(a^2+b^2+b^2\right)^2\ge\frac13\left\lbrack\frac13\left(a+b+b\right)^2\right\rbrack^2=3\left(\frac{a+2b}{3}\right)^4\)

Tương tự:

\(b^4+c^4+c^4\ge3\left(\frac{b+2c}{3}\right)^4\)

\(c^4+a^4+a^4\ge3\left(\frac{c+2a}{3}\right)^4\)

Cộng vế và rút gọn 3 ở 2 vế:

\(a^4+b^4+c^4\ge\left(\frac{a+2b}{3}\right)^4+\left(\frac{b+2c}{3}\right)^4+\left(\frac{c+2a}{3}\right)^4\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Đề bài thiếu điều kiện của a,b,c rồi em

\(P=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+y^2-4x+2y+15\)

\(=\left(x-2y\right)^2-4\left(x-2y\right)+4+\left(y^2-6y+9\right)+2\)

\(=\left(x-2y-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+2\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x-2y-2=0\\ y-3=0\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x=8\\ y=3\end{cases}\)

Khi đó \(M=\left(8-9\right)^{2024}+\left(3-2\right)^{2025}=1+1=2\)

Ta có:

\(2025a+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=\left(a+b\right)\left(c+a\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2025a+bc}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2025a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b}{b+\sqrt{2025b+ac}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

\(\frac{c}{c+\sqrt{2025c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Cộng vế:

\(M\le\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

Vậy \(M_{max}=1\) , dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=675\)

b.

Do O là giao điểm 2 đường chéo nên O đồng thời là trung điểm AC và BD

Trong tam giác vuông BDE, O là trung điểm BD nên EO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BD

\(\Rightarrow EO=\frac12BD=OB\)

Tương tự, trong tam giác vuông BDF, FO là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow FO=\frac12BD=OB\)

\(\Rightarrow EO=FO=OB\)

\(\Rightarrow\Delta EFO\) cân tại O

c.

Ta có \(\angle ABC=\angle ADC=77^0\) (hai góc đối hbh)

Theo cm câu a, do \(EO=OB\Rightarrow\Delta OBE\) cân tại O \(\Rightarrow\angle OBE=\angle OEB\)

\(\Rightarrow\angle BOE=180^0-2.\angle OBE\)

Tương tự ta có ΔOBF cân tại O nên \(\angle BOF=180^0-2.\angle OBF\)

Cộng vế:

\(\angle BOE+\angle BOF=360^0-2\left(\angle OBE+\angle OBF\right)\)

\(\Rightarrow360^0-\angle EOF=360^0-2.\angle ABC\)

\(\Rightarrow\angle EOF=2\angle ABC=154^0\)

Gọi E là giao điểm của 2 đường thẳng OC và BD

Xét hai tam giác OAC và OBE có:

\(\angle OAC=\angle OBE=90^0\)

OA=OB (O là trung điểm AB)

∠AOC=∠BOE (đối đỉnh)

=>ΔOAC=ΔOBE (g.c.g)

=>AC=BE (1) và OC=OE =>OD là trung tuyến của tam giác CDE(2)

Lại có \(\angle COD=90^0\) (giả thiết) nên OD⊥CE =>OD là đường cao của tam giác CDE (3)

Từ (2) và (3) => ΔCDE cân tại D (tam giác có trung tuyến đồng thời là đường cao)

=>CD=DE (4)

Mà DE=BD+BE (5)

Từ (1),(4),(5) =>CD=AC+BD

b.

Theo cm câu a, do ΔOAC=ΔOBE =>∠OCA=∠OEB (6)

Cũng theo cm câu a, do ΔCDE cân tại D => ∠OEB=∠OCD (7)

Từ (6),(7)=> ∠OCA=∠OCD

=>CO là tia phân giác của ∠ACD

\(\Leftrightarrow\begin{cases}2x-y\le3\\ -10x+5y\le8\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}2x-y\le3\\ 2x-y\ge-\frac85\end{cases}\)

\(\Rightarrow-\frac85\le2x-y\le3\)

Nghiệm của hệ là tập hợp những điểm nằm giữa 2 đường thẳng \(y=2x+\frac85\) và \(y=2x-3\) bao gồm cả biên