Đề thiếu rồi em, như bài cho thì có vô số trường hợp thỏa mãn

Gọi x là số viên bi Hoa có (x\(\in\) N)

Do chia đều số bi vào 63 hộp thì dư 1 viên nên x chia 63 dư 1

\(\Rightarrow x=63y+1\) (1) (với \(y\in N\) )

Do thêm vào 47 viên bi thì vừa đủ 67 hộp nên \(x+47\) chia hết cho 67

\(\Rightarrow x+47=67z\Rightarrow x=67z-47\) (với z∈N)

\(\Rightarrow63y+1=67z-47\)

\(\Rightarrow63y-756=67z-804\)

\(\Rightarrow63\left(y-12\right)=67\left(z-12\right)\)

Do 63 và 67 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow y-12\) chia hết cho 67

\(y-12=67n\Rightarrow y=67n+12\)

\(\Rightarrow y=\left(12,79,146,\ldots\right)\)

Thay vào (1) \(\Rightarrow x=\left(757,4978,9199\ldots\right)\)

D là điểm nào em nhỉ?

Do x+y+z và |x|+|y|+|z| luôn cùng tính chẵn lẻ với mọi nguyên x,y,z

Suy ra \(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) có cùng tính chẵn lẻ với a-b+b-c+c-a

Mà a-b+b-c+c-a=0 là số chẵn

Suy ra \(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|\) chẵn

Do \(\left|a-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-a\right|=2024^{a}+2025^{a}\)

Nên \(2024^{a}+2025^{a}\) cũng là số chẵn

Nếu a≠0, do 2024 chẵn và 2025 lẻ nên \(2024^{a}+2025^{a}\) lẻ (ko thỏa mãn)

=>a=0

Thay vào đề bài:

\(\left|0-b\right|+\left|b-c\right|+\left|c-0\right|=2\Rightarrow\left|b\right|+\left|c\right|+\left|b-c\right|=2\)

- Nếu b,c đều khác 0, do b,c nguyên nên \(\left|b\right|\ge1;\left|c\right|\ge1\Rightarrow\left|b\right|+\left|c\right|\ge2\)

\(\Rightarrow\left|b\right|+\left|c\right|+\left|b-c\right|\ge2\)

Mà \(\left|b\right|+\left|c\right|+\left|b-c\right|=2\Rightarrow\begin{cases}\left|b\right|=1\\ \left|c\right|=1\\ \left|b-c\right|=0\end{cases}\) \(\Rightarrow b=c=\pm1\)

- Nếu trong 2 số b, có 1 số bằng 0. Do vai trò b,c như nhau, giả sử b=0

Thay vào: \(\left|0\right|+\left|c\right|+\left|0-c\right|=2\Rightarrow2\left|c\right|=2\Rightarrow\left|c\right|=1\)

\(\Rightarrow c=\pm1\)

Vậy các sộ số nguyên a,b,c thỏa mãn yêu cầu là:

\(\left(a,b,c\right)=\left(0,0,1\right);\left(0,1,0\right),\left(0,0,-1\right),\left(0,-1,0\right);\left(0,1,1\right),\left(0,-1,-1\right)\)

Giả sử tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn đề bài.

Ta có tính chất sau: với các số nguyên a,b,c bất kì, thì hai tổng a+b+c và |a|+|b|+|c| luôn có cùng tính chẵn lẻ.

Do đó, \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn có cùng tính chẵn lẻ với \(x-3y+y-5z+z-7x\)

Mà \(x-3y+y-5z+z-7x=-6x-2y-4z=2.\left(-3x-y-2z\right)\) luôn chẵn với mọi số tự nhiên x,y,z

=>\(\) \(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|\) luôn chẵn

Theo giả thiết:

\(\left|x-3y\right|+\left|y-5z\right|+\left|z-7x\right|=9^{x}+11^{y}+13^{z}\)

Do vế trái chẵn theo chứng minh trên, ta suy ra \(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) cũng là số chẵn (1).

Mà 9, 11, 13 là các số tự nhiên lẻ, nên \(9^{x};11^{y};13^{z}\) cũng là các số tự nhiên lẻ

=>\(9^{x}+11^{y}+13^{z}\) có kết quả là 1 số lẻ (mâu thuẫn với (1))

Vậy điều giả sử là sai, hay ko tồn tại các số tự nhiên x,y,z thỏa mãn yêu cầu

Bài 11 nào em nhỉ?

7.

Giá mua của 1 chiếc cặp sách là:

\(450000:\left(100\%+12,5\%\right)=400000\) (đồng)

8.Đề câu này thiếu rồi em, đáy bé bằng bao nhiêu phần đáy lớn nhỉ?

Do \(\frac{45}{38}<\frac{76}{38}=2\)

Và \(\frac{76}{38}=\frac42<\frac52\)

Nên \(\frac{45}{38}<\frac52\)

ĐKXĐ: \(x\ge\frac12\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+2=4\sqrt{2x-1}-2x\sqrt{2x-1}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x\sqrt{2x-1}+2x-1=4\left(2x-1\right)+4\sqrt{2x-1}+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{2x-1}\right)^2=\left(2\sqrt{2x-1}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x+\sqrt{2x-1}=2\sqrt{2x-1}+1\\ x+\sqrt{2x-1}=-2\sqrt{2x-1}-1\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x-1=\sqrt{2x-1}\left(1\right)\\ x+1=-3\sqrt{2x-1}\left(2\right)\end{array}\right.\)

Pt (2) vô nghiệm do vế trái dương, vế phải âm khi \(x\ge\frac12\)

Xét pt (1), với \(x\le1\) pt vô nghiệm, với \(x>1\) bình phương 2 vế:

\(x^2-2x+1=2x-1\Rightarrow x^2-4x+2=0\Rightarrow x=2+\sqrt2\) (loại nghiệm ko thỏa đk)

4.

Ta có: \(S=2^1+3^{4.1+1}+4^{4.2+1}+\cdots+2024^{4.2002+1}\)

Do tính chất lũy thừa bậc 4n+1 của 1 số có tận cùng giống số đó, nên S có cùng chữ số tận cùng với tổng:

\(S_1=2+3+4+\cdots+2024=\frac{2024.2025}{2}-1=2049299\)

Vậy S có tận cùng bằng 9

Do \(\alpha\) nhọn nên \(0<\sin\alpha<1\Rightarrow\sin^{2011}\alpha<\sin^2\alpha\)

Tương tự ta có \(\cos^{2011}\alpha<\cos^2\alpha\)

\(\Rightarrow\sin^{2011}\alpha+\cos^{2011}\alpha<\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\)

\(\Rightarrow\sin^{2011}\alpha+\cos^{2011}\alpha<1\)