Nếu giải theo pt thì chiều rộng phải là 100 - x vì 200m là chu vi hcn nên 100m là nửa chu vi chứ!

Gọi chiều dài hình chữ nhật là a (m); chiều rộng hình chữ nhật là b (m)

ĐK: a > 10; b > 0

Vì chu vi hcn là 200m nên ta có pt: (a + b).2 = 200

\(\Leftrightarrow\) a + b = 100 (1)

Diện tích hcn ban đầu là: ab (m²)

Chiều dài hcn khi giảm đi 10m là: a - 10 (m)

Chiều rộng hcn khi tăng thêm 10m là: b + 10 (m)

Diện tích hcn sau khi thay đổi là: (a - 10)(b + 10) (m²)

Vì diện tích hcn sau khi thay đổi có diện tích không thay đổi nên ta có pt:

(a - 10)(b + 10) = ab

\(\Leftrightarrow\) ab + 10a - 10b - 100 = ab

\(\Leftrightarrow\) 10a - 10b = 100

\(\Leftrightarrow\) a - b = 10 (2)

Từ (1) và (2) ta có hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=100\\a-b=10\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2a=110\\a+b=100\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=55\\55+b=100\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=55\\b=45\end{matrix}\right.\) (TM)

Vậy diện tích hcn ban đầu là: 55.45 = 2475 (m²)

Chúc bn học tốt!

6x - 6 = 5x² - 5

\(\Leftrightarrow\) 6(x - 1) = 5(x² - 1)

\(\Leftrightarrow\) 6(x - 1) - 5(x - 1)(x + 1) = 0

\(\Leftrightarrow\) (x - 1)[6 - 5(x + 1)] = 0

\(\Leftrightarrow\) (x - 1)(6 - 5x - 5) = 0

\(\Leftrightarrow\) (x - 1)(1 - 5x) = 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\1-5x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\5x=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

Chúc bn học tốt!

x² - (2m + 3)x + 4m + 2 = 0

Có: \(\Delta\) = [-(2m + 3)]² - 4.1.(4m + 2) = 4m² + 12m + 9 - 16m - 8 = 4m² - 4m + 1 = (2m - 1)²

Vì (2m - 1)² \(\ge\) 0 với mọi m hay \(\Delta\) \(\ge\) 0

\(\Rightarrow\) Pt luôn có nghiệm với mọi m

Chúc bn học tốt!

Bài cuối: (E nghĩ đề này thiếu a, b, c dương)

Ta có: \(\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+\dfrac{x+2y+5}{1+3z}\)

= \(\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+1+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+1+\dfrac{x+2y+5}{1+3z}+1-3\)

= \(\dfrac{x+2y+3z+6}{1+x}+\dfrac{x+2y+3z+6}{1+2y}+\dfrac{x+2y+3z+6}{1+3z}-3\)

= \(\left(x+2y+3z+6\right)\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\right)-3\)

= \(24\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\right)-3\)

Ta có BĐT phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) với mọi a, b, c > 0

Thật vậy: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số \(\dfrac{1}{a}\); \(\dfrac{1}{b}\); \(\dfrac{1}{c}\) dương ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\) (*)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số a; b; c dương ta có:

a + b + c \(\ge\) 3\(\sqrt[3]{abc}\) (**)

Nhân 2 vế của (*) và (**) ta có:

\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}=9\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a = b = c

Áp dụng BĐT phụ cho 3 số \(\dfrac{1}{1+x}\); \(\dfrac{1}{1+2y}\); \(\dfrac{1}{1+3z}\) ta có:

\(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\ge\dfrac{9}{x+2y+3z+3}=\dfrac{9}{21}=\dfrac{3}{7}\)

\(\Leftrightarrow\) \(24\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\right)-3\ge24\cdot\dfrac{3}{7}-3=\dfrac{51}{7}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) 1 + x = 1 + 2y = 1 + 3z

\(\Leftrightarrow\) x = 2y = 3z

\(\dfrac{a^2}{ab+b^2}+\dfrac{b^2}{ab-a^2}-\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

= \(\dfrac{a^2}{b\left(a+b\right)}+\dfrac{b^2}{a\left(b-a\right)}-\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

= \(\dfrac{a^2}{b\left(a+b\right)}-\dfrac{b^2}{a\left(a-b\right)}-\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)

= \(\dfrac{a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a+b\right)-\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{ab\left(a^2-b^2\right)}\)

= \(\dfrac{a^4-a^3b-ab^3-b^4-\left(a^4-b^4\right)}{ab\left(a^2-b^2\right)}\)

= \(\dfrac{-a^3b-ab^3}{ab\left(a^2-b^2\right)}=\dfrac{-ab\left(a^2+b^2\right)}{ab\left(a^2-b^2\right)}=\dfrac{a^2+b^2}{b^2-a^2}\)

Chúc bn học tốt!

Akai Haruma Giáo viên cho em hỏi kí hiệu \(\sum\) là gì ạ và kí hiệu này được học ở lớp mấy ạ?

C2: Thay vì đặt trực tiếp \(\dfrac{x}{x+1}\) và \(\dfrac{y}{y-3}\) rất khó tính toán thì mk sẽ rút gọn r mới đặt

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5x}{x+1}+\dfrac{y}{y-3}=27\\\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{3y}{y-3}=4\end{matrix}\right.\) (x \(\ne\) -1; y \(\ne\) 3)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5x+5-5}{x+1}+\dfrac{y-3+3}{y-3}=27\\\dfrac{2x+2-2}{x+1}-\dfrac{3y-9+9}{y-3}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}5-\dfrac{5}{x+1}+1+\dfrac{3}{y-3}=27\\2-\dfrac{2}{x+1}-3-\dfrac{9}{y-3}=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-5}{x+1}+\dfrac{3}{y-3}=21\\\dfrac{-2}{x+1}-\dfrac{9}{y-3}=5\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\dfrac{1}{x+1}=a\); \(\dfrac{1}{y-3}=b\)

Khi đó hpt trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}-5a+3b=21\\-2a-9b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}-15a+9b=63\\-2a-9b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}-17a=68\\-2a-9b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\-2\cdot\left(-4\right)-9b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\9b=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\b=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=-4\\\dfrac{1}{y-3}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}-4\left(x+1\right)=1\\y-3=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}-4x-4=1\\y=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-5}{4}\\y=6\end{matrix}\right.\) (TM)

Vậy hpt trên có nghiệm duy nhất (x; y) = (\(\dfrac{-5}{4}\); 6)

Chúc bn học tốt!

Châu Anh

x² - y² = (x - y)(x + y)

xy - x² = x(y - x) = -x(x - y)

y² - xy = y(y - x) = -y(x - y)

MTC: xy(x - y)(x + y) = -xy(y - x)(x + y) (Nãy ghi lộn y - x thành x - y nên thành ra hơi sai tí :v)

\(\left\{{}\begin{matrix}u^2+v^2=13\\uv=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}u^2+v^2=13\\u^2v^2=256\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}u^2=13-v^2\\\left(13-v^2\right)v^2=256\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}u^2=13-v^2\\13v^2-v^4-256=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}u^2=13-v^2\\v^4-13v^2+256=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

(1) \(\Leftrightarrow\) v⁴ - 2.\(\dfrac{13}{2}\)v² + \(\dfrac{169}{4}\) + \(\dfrac{855}{4}\) = 0

\(\Leftrightarrow\) (v² - \(\dfrac{13}{2}\))² + \(\dfrac{855}{4}\) = 0 (Vô nghiệm)

\(\Rightarrow\) Pt vô nghiệm

\(\Rightarrow\) Hpt vô nghiệm

Chúc bn học tốt!