Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Duy Phát

cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn:

\(\Sigma\dfrac{c^{2013}}{a+b-c}=\Sigma a^{2012}\)

Hãy xđ dạng của tam giác đó 

Akai Haruma
17 tháng 2 2021 lúc 17:06

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{c^{2013}}{a+b-c}=\sum \frac{c^{4024}}{ac^{2011}+bc^{2011}-c^{2012}}\geq \frac{(\sum a^{2012})^2}{a^{2011}(b+c)+b^{2011}(c+a)+c^{2011}(b+a)-\sum a^{2012}}\)

Ta sẽ CM:

\(a^{2011}(b+c)+b^{2011}(c+a)+c^{2011}(b+a)-\sum a^{2012}\leq \sum a^{2012}\)

\(\Leftrightarrow a^{2011}(a-b)+a^{2011}(a-c)+b^{2011}(b-a)+b^{2011}(b-c)+c^{2011}(c-a)+c^{2011}(c-b)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \sum (a-b)(a^{2011}-b^{2011})\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(a^{2010}+...+b^{2010})\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó: \(\sum \frac{c^{2013}}{a+b-c}\geq \frac{(\sum a^{2012})^2}{\sum a^{2012}}=\sum a^{2012}\)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$. Tức là $ABC$ là tam giác đều.

 


Các câu hỏi tương tự
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Luyri Vũ
Xem chi tiết
Lan_nhi
Xem chi tiết
Nguyễn Tuấn
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Bolbbalgan4
Xem chi tiết
Linh Anh
Xem chi tiết