a) Chịu, tự làm

b) \(y=\left|x-1\right|+\left|x-3\right|\)

Áp dụng BĐT, ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|x-3\right|=\left|x-1\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-1+3-x\right|=2\)
\(Min_y=2\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\3-x\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow1\le x\le3\)

c) \(y\ge4\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|+\left|x-3\right|\ge4\)

Xét khoảng x<1, tự giải

Được tập nghiệm thỏa mãn \(x< 1\)

Xét khoảng \(1\le x< 3\)

Không có tập nghiệm

Xét khoảng \(x\ge3\)

Được tập nghiệm \(x\ge3\)

ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne1\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{6\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{x+\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3-6\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

HPT đã cho

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{x^2+1}{x}+\dfrac{y^2+1}{y}=6\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\dfrac{x}{x^2+1}=u;\dfrac{y}{y^2+1}=v\)

HPT tương đương

\(\left\{{}\begin{matrix}u+v=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v}=6\end{matrix}\right.\)

Tới đây thì dễ rồi u=1/3;v=1/3

Xong tìm được x,y

Mấy bài này dễ ợt mà, sách nó có hướng dẫn các cách đó, dựa theo mà làm, đối chiếu đáp án

Xét hiệu: \(m^2+n^2-2\left(m+n\right)+2\)

\(=m^2-2m+1+n^2-2n+1\)

\(=\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\)

Vậy ta suy ra đpcm

Dấu ''='' xảy ra khi m=n=1

BT1: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}>\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}>1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}\)

Vậy ta suy ra đpcm