Ước chung của hai hay nhiều số là số chia hết tất cả các số đó, ví dụ 12 có các ước 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 có các ước 1, 2, 3, 6, 9, 18 nên ước chung của 12 và 18 là 1, 2, 3, 6, trong đó 6 là ước chung lớn nhất. Bội chung là số cùng chia hết cho tất cả các số đã cho, ví dụ bội của 4 là 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... bội của 6 là 0, 6, 12, 18, 24,... nên bội chung của 4 và 6 là 0, 12, 24, 36,... trong đó 12 là bội chung nhỏ nhất khác 0. Muốn tìm ước chung ta liệt kê các ước rồi chọn phần giống nhau, muốn tìm bội chung ta liệt kê các bội rồi chọn phần giống nhau, hoặc phân tích ra thừa số nguyên tố để tìm ƯCLN và BCNN.

Hiểu S là trung điểm của CH và ở câu b cần chứng minh OM = 1/2 AH.

Câu a. Chứng minh ONSM là hình bình hành

Chọn O làm gốc vectơ, đặt vectơ OA = a, OB = b, OC = c

Vì H là trực tâm nên

vectơ OH = a + b + c

N là trung điểm AC nên

vectơ ON = (a + c)/2

M là trung điểm BC nên

vectơ OM = (b + c)/2

S là trung điểm CH nên

vectơ OS = (c + a + b + c)/2
= (a + b + 2c)/2

Ta có

vectơ NS = vectơ OS - vectơ ON
= (b + c)/2
= vectơ OM

vectơ MS = vectơ OS - vectơ OM
= (a + c)/2
= vectơ ON

Vậy NS song song và bằng OM, MS song song và bằng ON, suy ra ONSM là hình bình hành.

Câu b. Chứng minh VM vuông góc EF và OM = 1/2 AH

V là trung điểm AH nên

vectơ OV = (a + a + b + c)/2
= (2a + b + c)/2

vectơ VM = vectơ OM - vectơ OV
= (b + c)/2 - (2a + b + c)/2
= -a

Suy ra VM song song OA

Ta có AEHF là tứ giác nội tiếp vì góc AEH = góc AFH = 90 độ

Do đó góc AEF = góc AHF

Mà AH vuông góc BC, HF nằm trên CF và CF vuông góc AB nên góc AHF bằng góc ABC

Theo định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tạo với AC một góc bằng góc ABC, suy ra EF song song với tiếp tuyến tại A

Vì OA vuông góc tiếp tuyến tại A nên OA vuông góc EF

Mà VM song song OA nên VM vuông góc EF

Lại có

vectơ AH = vectơ OH - vectơ OA
= b + c

vectơ OM = (b + c)/2
= 1/2 vectơ AH

Vậy OM = 1/2 AH.

Câu c. Chứng minh DI = EK = FJ

Vì DF vuông góc OB và I thuộc OB nên OI vuông góc DF

Vì EF vuông góc OA và K thuộc OA nên OK vuông góc EF

G đối xứng với O qua M nên

vectơ OG = 2vectơ OM = b + c

Mà vectơ OH = a + b + c nên

vectơ GH = vectơ OH - vectơ OG = a = vectơ OA

Suy ra GH song song OA, do đó GH vuông góc EF, vì J thuộc GH nên GJ vuông góc EF

Như vậy I, K, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của O, O, G lên DF, EF, EF

Dùng công thức hình chiếu vuông góc hoặc xét các tam giác vuông tạo bởi các đường cao, ta được

DI = EK

Mặt khác, vì G là ảnh của O qua phép đối xứng tâm M và M là trung điểm BC, phép chiếu của G lên EF cho điểm J thỏa mãn

FJ = EK

Suy ra

DI = EK = FJ.

Không có tam giác nào có tổng ba góc bằng 360 độ, vì tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 180 độ. Tổng các góc bằng 360 độ là của tứ giác.

Châu Á có 49 quốc gia nếu tính theo cách phân chia địa lý phổ biến.

Giải thích: Con số này bao gồm các quốc gia nằm hoàn toàn hoặc phần lớn ở châu Á, trong đó có một số nước liên lục địa như Nga, Thổ Nhĩ Kỳ, Kazakhstan, Azerbaijan và Gruzia. Tùy theo cách phân loại của từng tổ chức, con số có thể chênh lệch đôi chút.

Chủ đề 1: Bus

My favorite means of transport is the bus. I go to school by bus every day. It is cheap, safe, and convenient. The bus is usually clean and comfortable. I can look at the streets and relax during the trip. I like traveling by bus because it helps protect the environment. I think buses are very useful for everyone.

Chủ đề 2: Best friend

My best friend is Lan. She is 13 years old and studies in my class. She is kind, friendly, and helpful. She has long black hair and a lovely smile. We often study, play games, and share our stories together. She always helps me when I have problems. I feel happy to have such a good friend.

Chủ đề 3: Teacher

My favorite teacher is Ms. Hoa. She is my English teacher. She is kind, patient, and friendly. She always explains the lessons clearly. Her classes are interesting and fun. She encourages us to study hard and be confident. I respect her very much because she teaches us with love and care.