Đặt A=\(\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}+\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}\)

\(\Rightarrow\) \(A^3\) =18-\(5\sqrt{13}\) +18+\(5\sqrt{13}\) +3A\(\sqrt[3]{18^2-\left(5\sqrt{13}\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\) A³=36-3A\(\Leftrightarrow\) A³+3A-36=0\(\Leftrightarrow\) (A-3)(A²-3A+12)=0

Do A²-3A+12>0\(\forall\) A suy ra A-3=0 suy ra A=3

Vậy \(\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}+\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}\) là số nguyên

Ta có:

\(\sqrt{4x^2-4x+1}\)=\(\sqrt{\left(2x-1\right)^2}\)=\(\left|2x-1\right|\)=2015 \(\Rightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}2x-1=2015\\2x-1=-2015\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}2x=2016\\2x=-2014\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1008\\x=-1007\end{matrix}\right.\)

Vậy S=\(\left\{-1007;1008\right\}\)

Theo hệ thức Viet,ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1.x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Ta có x₁³+x₂³+21=x₁.x₂(x₁²+x₂²)+21=(-3)\([\)(x₁+x₂)²-2x₁.x₂\(]\)+21=(-3)\([\)1²-2(-3)\(]\) +21=0

PT\(\Leftrightarrow\)x²-x(2y +1)+3y²-y=0

Xét \(\Delta_x\) =(2y+1)²-4(3y²-y)=-8y²+8y+1

Để PT có nghiệm thì \(\Delta_x\) \(\ge\)0\(\Leftrightarrow y\in\left\{0;1\right\}\)

+)y=0 \(\Rightarrow\Delta_x=1\) \(\Rightarrow\) x₁=1 ;x₂=0 thỏa mãn

+)y=1\(\Rightarrow\Delta_x=1\) \(\Rightarrow\) x₁=2;x₂=1 thỏa mãn

Vậy (x;y)\(\in\left\{\left(0;0\right);\left(1;1\right);\left(2;1\right);\left(1;0\right)\right\}\)

b) Giả sử M(x₀;y₀) là điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua

suy ra y₀=mx₀-2m-1 \(\forall\) m

\(\Leftrightarrow\) m(x₀-2)-(y₀+1)=0 \(\forall\) m

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-2=0\\y_0+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=2\\y_0=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy M(2;-1) là điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua

c) Do A;B là giao của đồ thị với trục Ox;Oy nên A\(\left(\dfrac{2m+1}{m};0\right)\) ;B\(\left(0;-2m-1\right)\)

Suy ra OA=\(|\dfrac{2m+1}{m}|\) ;OB=\(|-2m-1|=|2m+1|\)

Do S_OAB=2 nên OA.OB/2=2\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{\left(2m+1\right)^2}{|m|}=4\)

+)m>0 ta có (2m+1)²=4m\(\Leftrightarrow\) 4m²+1=0(vô nghiệm)

+)m<0 ta có (2m+1)²=-4m\(\Leftrightarrow\) 4m²+8m+1=0 \(\Leftrightarrow\) \(m=\dfrac{-2\pm\sqrt{3}}{2}\) thỏa mãn do m<0

Vậy \(m=\dfrac{-2\pm\sqrt{3}}{2}\)

Đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le7\\-1\le y\le7\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế của 2 hệ phương trình ta được:
\(\sqrt{x+1}+\sqrt{7-x}+\sqrt{y+1}+\sqrt{7-y}=8\)(1)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được:

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{7-x}\)=\(1.\sqrt{x+1}+1.\sqrt{7-x}\) \(\le\) \(\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x+1+7-x\right)}\) \(\le\) 4

Tương tự ta có: \(\sqrt{y+1}+\sqrt{7-y}\le4\)

Suy ra \(\sqrt{x+1}+\sqrt{7-x}+\sqrt{y+1}+\sqrt{7-y}\le8\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x+1}}{1}=\dfrac{\sqrt{7-x}}{1}\\\dfrac{\sqrt{y+1}}{1}=\dfrac{\sqrt{7-y}}{1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=3\end{matrix}\right.\) thỏa mãn

Vậy x=3;y=3 là nghiệm của hệ phương trình

Day kinh nghiệm 

Con số

Do 1/b+1/c=3/4-1/a suy ra \(\sum\) (1a/)=3/4

Ta có \(\dfrac{\sqrt{b^2+bc+c^2}}{a^2}\)= \(\dfrac{\sqrt{\left(b+c\right)^2-bc}}{a^2}\ge\dfrac{\sqrt{\left(b+c\right)^2-\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4}}}{a^2}=\dfrac{\sqrt{3}\left(b+c\right)}{2a^2}\)

Tương tự ta được:

P\(\ge\) \(\sqrt{3}\) \(\left(\sum\dfrac{b+c}{a^2}\right)\) \(\ge\) \(\sqrt{3}\) (1/a+1/b+1/c) \(\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a=b=c=4

Áp dung BĐT schur với k=2 ta được:

a²(a-b)(a-c)+b²(b-c)(b-a)+c²(c-a)(c-b)\(\ge\)0

a⁴+b⁴+c⁴+abc(a+b+c)\(\ge\)ab(a²+b²)+bc(b²+c²)+ca(c²+a²)