Đặt A=\(\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}+\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow\) \(A^3\) =18-\(5\sqrt{13}\) +18+\(5\sqrt{13}\) +3A\(\sqrt[3]{18^2-\left(5\sqrt{13}\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\) A3=36-3A\(\Leftrightarrow\) A3+3A-36=0\(\Leftrightarrow\) (A-3)(A2-3A+12)=0
Do A2-3A+12>0\(\forall\) A suy ra A-3=0 suy ra A=3
Vậy \(\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}+\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}\) là số nguyên
Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{97}+\sqrt{99}}>\frac{9}{4}\)
Câu 1:Chứng minh với mọi \(x\ge0;x\ne4\)thì biểu thức Q=\(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+4}}\)không thể nhận giá trị nguyên
Câu 2:Giải các phương trình sau:
a)\(4x^2+11x+18=8\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2+2x+3\right)}\)
b)\(3x^2-11x-22=7\sqrt{\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x-7\right)}\)
Câu 3:Giải các hệ phương trình:
a)\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)+y\left(x^2-5\right)=xy^2-5x\\4x\sqrt{y+3}+2\sqrt{2x-1}=4y^2+3x+3\end{matrix}\right.\)
b)\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x+1}.\left(2x+3\right)-2y=y^3\\\sqrt{2x+13}+5=3y+\sqrt{2x+6}\end{matrix}\right.\)
Câu 4:Giả sử (x;y) là các số thực thỏa mãn:
\(\left(x+\sqrt{3+x^2}\right).\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)=9\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+xy+y^2\)
Cho a= \(\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}\). Chứng minh rằng a là bình phương của một số nguyên.
Chứng minh rằng x0=\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}\) là một nghiệm của phương trình: \(x^4-16x^2+32=0\)
rút gọn các biểu thức sau:
a, \(\sqrt{8-2\sqrt{15}}-\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)
b, \(\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{5-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\)
c, \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\right):\dfrac{1}{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}\)
d,\(\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{3}{\sqrt{3}-2}+\dfrac{15}{3-\sqrt{3}}\right).\dfrac{1}{\sqrt{3}+5}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1980\)
Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge1980\sqrt{3}\)
giải giúp mình, cần gấp
\(A=\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{2-\sqrt{3}}+2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}+3}{\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{2}}\)
B= \(\frac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(49-20\sqrt{6}\right).\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)
Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>4\)
Bài 1 : Giải các phương trình sau:
a)\(2x+1+4\sqrt{x+1}=2\sqrt{1-2x}\)
b)\(x^2+4x+7=\left(x+4\right)\sqrt{x^2+7}\)
c)\(3x+2\left(\sqrt{x-4}+6\right)=12\sqrt{x}\)
d)\(\sqrt{x-2}+\sqrt{7-x}=x^2+7x+27\)
e)\(\left(\sqrt{2-x}+1\right)\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}\right)=4\)
Bài 2:Cho a;b;c>0 thỏa mãn a+b+c=1
Chứng minh \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\le21\)
Bài 3:Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn \(x^2+2y^2+2xy-5x-5y=-6\)
để (x+y) nguyên
Bài 4:Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện:\(x+y+z+xy+yz+zx=6\)
Chứng minh rằng \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Bài 5: Với ba số thực a;b;c thỏa mãn điều kiện a(a-b+c)<0,chứng minh phương trình \(ax^2+bx+c=0\)(ẩn x) luôn có hai nghiệm phân biệt
