b) x⁸ +7x⁴+16

= x⁸+8x⁴-x⁴+16

= (x⁸+8x⁴+16) - x⁴

=(x⁴+4)²-x⁴

= (x⁴+4+x²)(x⁴+4-x²⁾

c) x⁵+x-1

= x⁵ - x⁴+x³+x⁴-x³+x²-x²+x-1

= x³(x²-x+1) + x²(x²-x+1) - (x²-x+1)

= (x²-x+1)(x³+x² -1)

d)x⁷+x²+1

=x⁷-x+x² +x+1

= x (x⁶-1) + (x²+x+1)

= x(x³-1)(x³+1) + (x²+x+1)

= x(x³+1)(x-1)(x²+x+1)+(x²+x+1)

= (x²+x+1)[x(x³+1)(x-1) +1]

= (x²+x+1)(x⁵-x⁴+x²-x+1)

= x (x-1)(x²+x+1)

e) x⁵+x⁴+1

= x⁵⁺x⁴+x³ - x³+1

= x³(x²+x+1) - (x-1)(x²+x+1)

= (x²+x+1)(x³-x+1)

f) x⁸+x+1

= x⁸-x²+x²+x+1

= x²(x⁶-1)+(x²+x+1)

= x²(x³-1)(x³+1) +(x²+x+1)

= (x⁵+x²)(x-1)(x²+x+1) +(x²+x+1)

= (x²+x+1)(x⁶-x⁵+x³-x²+1)

Sao lại khiến bài toán trở nên rắc rối như z

x³-x²-4

= x³ -2x²+x²-4

= x²(x-2) + (x+2)(x-2)

= (x-2)(x²+x+2)

a)

x² + x-12

= x²-3x+4x-12

= x(x-3) +4(x-3)

= (x-3)(x+4)

d)

7x - 3x²-2

= x+6x -3x² -2

= -3x(x-2)+(x-2)

= (x-2)(-3x+1)

e)

x³+x²-x+2

= x³+2x²-x² -2x +x+2

= x²(x+2) - x(x+2) +(x+2)

= (x+2)(x²-x+1)

2x³-x²+5x+3

=2x³+x²-2x²-x+6x+3

= x²(2x+1)-x(2x+1)+3(2x+1)

= (2x+1)(x²-x+3)

b)

x³+2x²+2x+1

= x³+x²+x²+x+x+1

= x²(x+1) + x(x + 1) + (x+1)

= (x + 1)( x² + x + 1)

c)

x³-4x²+12x - 27

= x³-3x²-x²+3x+9x-27

= x²(x-3)-x(x-3)+9(x-3)

= (x-3)(x²-x+9)

d)

x⁴ + x³ - 3x³ - 3x² + 3x² + 3x - x - 1

= x³ ( x + 1 ) - 3x² ( x + 1 ) + 3x ( x+1) - (x +1)

= (x + 1)(x³ - 3x² + 3x - 1)

= (x +1 )( x - 1 )³

2)

Có a³+b³+c³ chia hết cho 9 ⁽¹⁾

Giả sử a,b,c đều ko chia hết cho 3 (BS3\(\pm1\))

\(\Rightarrow\) lập phương mỗi số dạng BS9 \(\pm1\)

\(\Rightarrow a^3+b^{3^{ }}+c^3=BS9+r_1+r_2+r_3\)

Có r_1,r_2,r₃ \(\in\left(1;-1\right)\)

Không có cách nào để r₁,r₂,r₃ nào để tổng chia hết cho 9 trái với ⁽¹⁾

Vậy tồn tại 1 trong 3 số a,b,c là bội của 3

1

Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1 , n . n+1

(n-1)³ +n³+(n+1)³

= n³ - 3n²+3n -1 + n³ + n³ +3n² +3n +1

= 3n³ + 6n

= 3n³- 3n + 9n

= 3 (n³-n) + 9n chia hết cho 9

Có a⁶-1=(a³+1)(a³-1)

Nếu a= 7k \(\pm1\left(k\in N\right)\) thì BS7 \(\pm1\)

Nếu a = 7k \(\pm2\) thì a³=BS7 \(\pm8\)

Nếu a = 7k \(\pm3\) thì a³=BS7 \(\pm27\). Ta luôn luôn có a³+1 hoặc a³-1 chia hết cho 7.

Do đó a⁶ -1 chia hết cho 7

P/S: bài toán là trường hợp đặc biệt của định lí nhỏ Phéc-ma : a^p-1-1 chia hết cho p với p =7