PT\(\Leftrightarrow\) \(x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=5\)\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=5\)

Ta có bảng giá trị:

áp dụng BĐT Cauchy cho hai số : \(a^2+\dfrac{1}{4}\ge a\)

\(b^2+\dfrac{1}{4}\ge b\) Cộng hai vế bất đẳng thức trên ta được:

\(a^2+b^2+\dfrac{1}{2}\ge a+b\) mà \(a+b=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\) dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Do quy luật phân li của menđen

ĐKXĐ: \(x\ge2\)

Đặt \(u=\sqrt{x+3};v=\sqrt{x-2}\) Phương trình trở thành :

\(\left(u-v\right)\left(1+uv\right)=5\) Mặt khác ta thấy \(u^2-v^2=5\)

\(\Rightarrow\left(u-v\right)\left(1+uv\right)=\left(u-v\right)\left(u+v\right)\) (*)

vì \(u-v>0\) nên chia cả hai vế (*) cho \(u-v\)

Ta được: \(1+uv=u+v\) \(\Leftrightarrow uv-u-\left(v-1\right)=0\Leftrightarrow\left(v-1\right)\left(u-1\right)=0\)

\(\left[{}\begin{matrix}u=1\\v=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=1\\x-2=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\left(Loai\right)\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=3\)

ĐKXĐ: \(-1\le x\le8\) Đặt \(t=\sqrt{x+1}+\sqrt{8-x}\) ( Với \(t\ge0\))

\(\Rightarrow t^2=9+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(8-x\right)}\)\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(8-x\right)}=\dfrac{t^2-9}{2}\)

\(\Rightarrow t+\dfrac{t^2-9}{2}=3\Rightarrow t^2+2t-15=0\)\(\Rightarrow\left(t+5\right)\left(t-3\right)=0\)

\(\left[{}\begin{matrix}t=-5\left(Loai\right)\\t=3\end{matrix}\right.\Rightarrow t=3\)

\(\Rightarrow3+\sqrt{\left(x+1\right)\left(8-x\right)}=3\) \(\Rightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(8-x\right)}=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=8\end{matrix}\right.\) Thỏa mãn điều kiện .