Ta có : \(a^3=10+3\sqrt[3]{\left(5+\sqrt{52}\right)\left(5-\sqrt{52}\right)}\left(\sqrt[3]{5+\sqrt{52}}+\sqrt[3]{5-\sqrt{52}}\right)\)

\(=10+3\sqrt[3]{-27}.a=10-9a\)

\(\Rightarrow a^3+9a-10=0\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+10\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\a^2+a+10=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{39}{4}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=1\) \(\Rightarrow f\left(a\right)=1+1+1^2+.....+1^{2015}=2016\)

\(M=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\)

ta có \(x+y=1\Rightarrow x^2+y^2=1-2xy\) theo BĐT Cô si: \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow2xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow1-2xy\ge1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng tiếp BĐT Cô Si :\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\ge\dfrac{1}{2}+8+4=\dfrac{25}{2}\)

dấu = xảy ra tại \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT Cô si Ta có : \(\dfrac{a}{b^2+1}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}\)

\(\dfrac{b}{c^2+1}=b-\dfrac{c^2b}{c^2+1}\ge b-\dfrac{c^2b}{2c}=b-\dfrac{cb}{2}\)

\(\dfrac{c}{a^2+1}=c-\dfrac{a^2c}{a^2+1}\ge c-\dfrac{a^2c}{2a}=c-\dfrac{ac}{2}\)

Cộng ba vế BĐT lại ta được:

\(\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\ge a+b+c-\left(\dfrac{ab+bc+ac}{2}\right)\)

Ta có đánh giá quen thuộc \(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{3}=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\ge3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)(ĐPCM)

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số

\(\dfrac{a}{9}+\dfrac{1}{a}\ge2.\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{9}+\dfrac{8a}{9}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{3}+\dfrac{8a}{9}\ge\dfrac{2}{3}+\dfrac{8.3}{9}=\dfrac{10}{3}\)

\(\Rightarrow MinS=\dfrac{10}{3}\) tại a=3

\(S=\dfrac{a}{9}+\dfrac{8a}{9}+\dfrac{1}{a}\)

Viết tiếp vào chỗ chấm cho thích hợp:

Hình thoi có hai đường chéo ........ với nhau và cắt nhau tại ...........

Muốn phát ra bức xạ, chất phóng xạ thiên nhiên cần phải được kích thích bởi:

A. Ánh sáng mặt trời

B. Tia tử ngoại

C. Tia X

D. Tất cả đều đúng

Ta có \(A=ab-\dfrac{abc}{c+1}+bc-\dfrac{abc}{a+1}+ac-\dfrac{abc}{b+1}\)

\(=ab+bc+ac-abc\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)

Áp dụng BĐT : \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow3\left(ab+bc+ac\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\) (1)

Áp dụng BDT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge\dfrac{9}{a+b+c+3}=\dfrac{9}{4}\Rightarrow-\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\le\dfrac{-9}{4}\)

Áp dụng BDT Cô si : \(\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{a+b+c}{3}\Rightarrow abc\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\dfrac{1}{27}\)

\(\Rightarrow-abc\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\le\dfrac{-9}{4}.\dfrac{1}{27}=\dfrac{-1}{12}\) (2)

Cộng hai vế BDT (1) và (2) ta được

\(ab+bc+ac-abc\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\le\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow MinA=\dfrac{1}{4}\) tại \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)