GTLN:

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow x^2+1\ge2x\Rightarrow2x^2\ge4x-2\)

\(y^2+1\ge2y\Rightarrow3y^2\ge6y-3\)

\(\Rightarrow2x^2+3y^2\ge2\left(2x+3y\right)-5\)

mà \(2x^2+3y^2\le5\)

\(\Rightarrow2\left(2x+3y\right)-5\le5\Rightarrow2x+3y\le5\)

Vậy Max A = 5 khi x = y = 1

\(a+2b=3\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-2\sqrt{b}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=4b\end{matrix}\right.\)

khi \(a=b\) \(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}=\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)

khi \(a=4b\)\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}=\dfrac{4b}{2b}=2\)

1. ĐKXĐ : \(x\ge1\) phương trình tương đương

\(\left(\sqrt{x-1}+1\right)^3+x-1+2\sqrt{x-1}+1=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}+1\right)^3+\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2=2\)

do \(\sqrt{x-1}\ge0\Rightarrow\sqrt{x-1}+1\ge1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x-1}+1\right)^3\ge1\\\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2\ge1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-1}+1\right)^3+\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2\ge2\)

Vậy dấu bằng xảy ra khi \(\sqrt{x-1}=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)

ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

Ta có : \(2\left(x^2-3x-1\right)-7\sqrt{x^3+1}=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-x+1\right)-4\left(x+1\right)-7\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=0\)

Đặt \(u=\sqrt{x^2-x+1};v=\sqrt{x+1}\)

Phương trình \(\Leftrightarrow2u^2-7uv-4v^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(u-4v\right)\left(2u+v\right)=0\)

\(\Rightarrow u=4v\Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}=4\sqrt{x+1}\)

đến đây thì dễ rồi

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x-y=y-z=z-x=0\)\(\Rightarrow x=y=z\)

\(\Rightarrow x^{2010}+y^{2010}+z^{2010}=3x^{2010}=3^{2010}\)

\(\Rightarrow x^{2010}=\dfrac{3^{2010}}{3}=3^{2009}\Rightarrow x=\sqrt[2010]{3^{2009}}\)

\(\Rightarrow x=y=z=\sqrt[2010]{3^{2009}}\)

Gọi d là ước chung lớn nhất của \(10n^2+9n+4\) và \(20n^2+20n+9\)

\(\Rightarrow10n^2+9n+4⋮d\Rightarrow20n^2+18n+8⋮d\)

cũng có \(20n^2+20n+9⋮d\)

\(\Rightarrow20n^2+20n+9-\left(20n^2+18n+8\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n+1⋮d\)

\(\Rightarrow n+1+10n^2+9n+4⋮d\)

\(\Rightarrow10n^2+10n+5⋮d\)

\(\Rightarrow20n^2+20n+10⋮d\)

\(\Rightarrow20n^2+20n+10-\left(20n^2+20n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Do ƯCLN của tử và mẫu bằng 1 nên phân số này tối giản

ĐKXĐ: \(x\le2\)\(\Rightarrow\sqrt{2-x}\ge0\)

Ta có : \(\sqrt[3]{2x^2+6x+3}=\sqrt[3]{2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2}}\ge\sqrt[3]{-\dfrac{3}{2}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2-x}+\sqrt[3]{2x^2+6x+3}\ge\sqrt[3]{-\dfrac{3}{2}}\)

mặt khác \(-2=\sqrt[3]{\dfrac{-16}{2}}< \sqrt[3]{\dfrac{-3}{2}}\)

\(\Rightarrow VT>VP\)

vậy phương trình vô nghiệm

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

\(\Rightarrow A=1.\sqrt{5x-4}+1.\sqrt{12-5x}\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(5x-4+12-5x\right)}\)

\(\Rightarrow A\le\sqrt{2.8}=4\)

vậy MaxA=4 khi \(5x-4=12-5x\Leftrightarrow10x=16\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{5}\)

\(x^2+\dfrac{1}{x^2}=7\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2=7\Rightarrow x+\dfrac{1}{x}=3\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)=21\)

\(\Rightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}+x+\dfrac{1}{x}=21\Rightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}=18\)

\(\Rightarrow\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)=126\)

\(\Rightarrow x^5+\dfrac{1}{x^5}+x+\dfrac{1}{x}=126\Rightarrow x^5+\dfrac{1}{x^5}=123\)

ví dụ trong sách giáo khoa ghi \(Ag\left(OH\right)_2\) không tồn tại nhưng thực tế nó bị thủy phân thành \(Ag_2O\) và nước