Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A,ta có:

BC²=AB²+CA²

<=>400=AB²+CA²

Theo giả thiết: 4AB=3AC

=>\(\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\)

=>\(\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:

\(\frac{AB^2}{9}=\frac{AC^2}{16}=\frac{AB^2+AC^2}{9+16}=\frac{BC^2}{25}=\frac{400}{25}=16\)

Với \(\frac{AB^2}{9}=16=>AB=12\)

Với \(\frac{AC^2}{16}=16=>AC=16\)

Vậy AB=12cm

AC=16cm

Theo giả thiết:AM=AN

Tam giác AMN cân tại A

=>Góc AMN=Góc ANM(1)

Có:Góc AMN+Góc ANM+Góc MAN=180^o

Mà góc MAN=100^o

=>Góc AMN+Góc ANM=80^o(2)

Từ(1) và (2)=>Góc AMN=Góc ANM=40^o(3)

Mặt khác:Tam giác ABC cân tại A và góc A=100^o(gt)=>Góc ABC=Góc ACB= 40^o(4)

Từ (3) và (4)=>Góc AMN=Góc ABC=40^o

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vì=>MN//BC

Ta có: AM+MB=AB và AN+NC=AC

Nên MB=AB-AM và NC=AC-AN

Mà AB=AC và AM=AN=>MB=NC

Xét tam giác BNC và tam giác CMB,có

BC chung

Góc NCB=Góc MBC

NC=MB(cmt)

Do đó:Tam giác BNC=Tam giác CMB(c.g.c)

=>BN=CM(2 cạnh tương ứng)

2.

Vì BI là phân giác của góc ABC=>Góc ABI=Góc IBC (1)

Do DE//BC=>Góc DIB=Góc IBC(slt) (2)

Từ (1) và (2)=>Góc ABI=Góc DIB (=Góc IBC)

Xét tam giác DBI có góc DBI=góc DIB

=>Tam giác DBI cân tại D

=>DB=DI(3)

Tương tự:Tam giác IEC cân tại E=>EI=EC(4)

Từ (3) và (4)=>BD+CE=DI+EI

Mà DI+EI=DE

=>BD+CE=DE(đpcm)

a)Xét tam giác EBC và tam giác DCB,có

Góc CEB=Góc BDC=90⁰

BC chung

Góc B=Góc C(do tam giác ABC cân tại A)

Do đó:tam giác EBC=tam giác DCB(chgn)

=>CE=BD(2 cạnh tương ứng)

b)Từ tam giác EBC=tam giác DCB

=>Góc ECB=Góc DBC(2 góc tương ứng)

=>Tam giác BOC cân tại O

c)Do tam giác BOC cân tại O

=>OB=OC

Xét tam giác AOB và tam giác AOC,có

AO chung

AB=AC(do tam giác ABC cân tại A)

OB=OC(cmt)

Do đó:Tam giác AOB=Tam giác AOC(c.c.c)

=>Góc BAO=Góc CAO(2 góc tương ứng)

=>AO là phân giác góc BAC