Ta có :x+y\(\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+2\sqrt{x}\sqrt{y}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi x,y\(\ge0\))

Dấu"+" xảy ra khi:\(\sqrt{x}=\sqrt{y}\Leftrightarrow x=y\)

Vậy với mọi x,y\(\ge0\) thì x+y\(\ge2\sqrt{xy}\)

Ta có :\(2x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+xy+xz+yz=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}{2}\)(bất đẳng thức cô si)

Cm tương tự :\(\sqrt{2y+xz}\le\dfrac{\left(y+x\right)+\left(y+z\right)}{2}\)

\(\sqrt{2z+xy}\le\dfrac{\left(z+y\right)+\left(z+x\right)}{2}\)

Do đó :P\(\le\dfrac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\left(x+y+z\right)=2\times2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi :x=y=z=\(\dfrac{2}{3}\)

Vây giá trị lớn nhất của P=\(\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\) với x+y+z=2 và x,y,z\(\ge0\) là 4 khi x=y=z=\(\dfrac{2}{3}\)

Đề có bị sai không bạn theo mình thì phải là \(\ge8\) mới đúng

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số thực không âm ta có :

\(\dfrac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b-1}\times4\left(b-1\right)}=4a\) (1)

\(\dfrac{b^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{b^2}{a-1}\times4\left(a-1\right)}=4b\) (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ,ta được :

\(\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}+4a+4b-8\ge4a+4b\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\ge8\)

Dấu "="xảy ra khi:a=b=2

Vậy \(\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\ge8\) với a>1,b>1

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số thực không âm ta có :

\(\dfrac{a^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{a-1}\times4\left(a-1\right)}=4a\) (1)

\(\dfrac{2b^2}{b-1}+8\left(b-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{2b^2}{b-1}\times8\left(b-1\right)}=8b\) (2)

\(\dfrac{3c^2}{c-1}+12\left(c-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{3c^2}{c-1}\times12\left(c-1\right)}=12c\) (3)

Cộng (1),(2) và (3) vế theo vế ta được :\(P+4a+8b+12c-24\)\(\ge4a+8b+12c\)

\(\Leftrightarrow P\ge24\)

Dấu "=" xảy ra khi :a=b=c=2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P=\(\dfrac{a^2}{a-1}+\dfrac{2b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\) là 24 khi a=b=c=2

a.\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\dfrac{2}{18}}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}\)

b.\(\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\dfrac{15}{735}}=\sqrt{\dfrac{1}{49}}=\dfrac{1}{7}\)

c.\(\dfrac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\dfrac{12500}{500}}=\sqrt{25}=5\)

d.\(\dfrac{\sqrt{6^5}}{\sqrt{2^3.33^5}}=\sqrt{\dfrac{2^5.3^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{2^2}=2\)

Đặt a=2001.Khi đó :P=a(a+1)(a+2)(a+3)+1

=\([a\left(a+3\right)][\left(a+1\right)\left(a+2\right)]\)+1

=(\(a^2+3a\))\(\left(a^2+3a+2\right)\)+1

Đặ t=\(a^2+3a\)(t>2).Khi đó P=t(t+2)+1=\(t^2+2t+1\)=(t+1)^2

vì (t+1)^2 là số chính phương lớn hơn 3 nên (t+1)^2 là hợp số hay P là hợp số

Vậy P=2001.2002.2003.2004+1 là hợp số

vì \(\widehat{AEH}v\text{à}\widehat{\text{AF}H}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{AEH}=\widehat{\text{AF}H}=90^o\)\(\Rightarrow\)Tứ giác AEHF là hình chữ nhật suy ra \(\widehat{AFE}=\widehat{EHA}\) mà \(\widehat{EHA}=\widehat{EBC}\)(cùng phụ với \(\widehat{BHE}\))

nên \(\widehat{\text{AF}E}=\widehat{EBC}\)

Do đó tứ giác BEFC nội tiếp