Ta có :\(2x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+xy+xz+yz=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}{2}\)(bất đẳng thức cô si)
Cm tương tự :\(\sqrt{2y+xz}\le\dfrac{\left(y+x\right)+\left(y+z\right)}{2}\)
\(\sqrt{2z+xy}\le\dfrac{\left(z+y\right)+\left(z+x\right)}{2}\)
Do đó :P\(\le\dfrac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\left(x+y+z\right)=2\times2=4\)
Dấu "=" xảy ra khi :x=y=z=\(\dfrac{2}{3}\)
Vây giá trị lớn nhất của P=\(\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\) với x+y+z=2 và x,y,z\(\ge0\) là 4 khi x=y=z=\(\dfrac{2}{3}\)
