Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
BTS - Nguồn Sống Của A.R...

### Các thánh giải giùm em bài này với ###

Với các số dương x, y, z thỏa mãn \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\). Tìm Max của:

Q= \(\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{xz\left(1+y^2\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}}\)

Lightning Farron
8 tháng 3 2018 lúc 21:40

\(\left(\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca=1\end{matrix}\right.\)

\(Q=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b^2+1}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+ab+bc+ca}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+ab+bc+ca}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b^2+ab+bc+ca}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{a+c}{a+c}+\dfrac{b+c}{b+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" <=> \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)

Akai Haruma
9 tháng 3 2018 lúc 10:03

Lời giải:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\Leftrightarrow x+y+z=xyz\)

\(\Rightarrow x(x+y+z)=x^2yz\)

\(\Rightarrow x(x+y+z)+yz=x^2yz+yz\Leftrightarrow (x+y)(x+z)=yz(1+x^2)\)

Do đó: \(\frac{x}{\sqrt{yz(x^2+1)}}=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\). Tương tự với các phân thức còn lại suy ra:

\(Q=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(Q\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)

\(\Leftrightarrow Q\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy \(Q_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Trần Nam Dương
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết
tran duc huy
Xem chi tiết
Tạ Thúy Hường
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Nguyễn Mary
Xem chi tiết
Quách Trần Gia Lạc
Xem chi tiết