1023

Tick ủng hộ mik nhé mọi người !

Sau t giờ, xe A,B và C đi được quãng đường lần lượt là \(t.v_1;t.v_2;t.v_3\)

a, Vì xe C luôn ở chính giữa xe A và B nên giả sử \(v_1>v_3>v_2\). Khi đó, sau t giờ, khoảng cách giữa xe A và xe B là: \(t.v_1-t.v_2\)

=> khoảng cách giữa xe A và C là: \(\dfrac{t.v_1-t.v_2}{2}\) (do xe C ở chính giữa xe A và xe B)

Mà sau t giờ, ta cũng có khoảng cách giữa xe A và xe C là: \(t.v_1-t.v_3\)

\(\Rightarrow\dfrac{t.v_1-t.v_2}{2}=t.v_1-t.v_3\Rightarrow\dfrac{t.\left(v_1-v_2\right)}{2}=t.\left(v_1-v_3\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{v_1-v_2}{2}=v_1-v_3\Rightarrow v_3=v_1-\dfrac{v_1-v_2}{2}\Leftrightarrow v_3=\dfrac{v_1+v_2}{2}\)

Vậy \(v_3=\dfrac{v_1+v_2}{2}\)

b, Theo giả thiết thì khoảng cách từ xe A đến xe C bằng 2 lần khoảng cách từ xe B đến xe C nên xe A không thể đi giữa xe B và xe C

+) Xét trường hợp xe C đi giữa xe A và xe B. Gỉa sử \(v_1>v_3>v_2\) thì sau t giờ, khoảng cách giữa xe A và xe C là: \(\dfrac{2.\left(t.v_1-t.v_2\right)}{3}\) (vì xe C cách xe A một khoảng bằng 2 lần khoảng cách từ xe C đến xe B)

Ta cũng có khoảng cách giữa xe A và xe C sau t giờ là: \(t.v_1-t.v_3\)

\(\Rightarrow\dfrac{2.\left(t.v_1-t.v_2\right)}{3}=t.v_1-t.v_3\Rightarrow\dfrac{2.t.\left(v_1-v_2\right)}{3}=t.\left(v_1-v_3\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{2.\left(v_1-v_2\right)}{3}=v_1-v_3\Rightarrow v_3=v_1-\dfrac{2.\left(v_1-v_2\right)}{3}\)

\(\Rightarrow v_3=\dfrac{v_1+2.v_2}{3}\)

+) Xét trường hợp xe B đi giữa xe A và xe C => theo giả thiết thì xe B đi chính giữa xe A và xe C. Áp dụng kết quả phần a, ta có:

\(v_2=\dfrac{v_1+v_3}{2}\Rightarrow2.v_2=v_1+v_3\Rightarrow v_3=2.v_2-v_1\)

Vậy \(v_3=\dfrac{v_1+2.v_2}{3}\) hoặc \(v_3=2.v_2-v_1\)

Đặt 111...11 (n chữ số 1) =a thì 9a+1=100...00 (n chữ số 0) \(=10^n\)

Ta có: \(U_n=111...11555...55\) (n chữ số 1 và n chữ số 5)

=111...11 (n chữ số 1) . 100...00 (n chữ số 0) + 555...55 (n chữ số 5)

\(=a.10^n+5a=a\left(9a+1\right)+5a=9a^2+a+5a=9a^2+6a\)

\(\Rightarrow U_n+1=9a^2+6a+1=\left(3a+1\right)^2=\left(333...33+1\right)^2\) (n chữ số 3)

\(=333...334^2\) (n-1 chữ số 3) => \(U_n+1\) là 1 số chính phương

=> đpcm

Ta có:

a=111...11 (n chữ số 1) => 9a=999...99 (n chữ số 9)

\(\Rightarrow9a+1=10^n\)

b=100...05 (n-1 chữ số 0) =1000...00 (n chữ số 0) +5 \(=10^n+5=9a+1+5=9a+6\)

Do đó \(ab+1=a.\left(9a+6\right)+1=9a^2+6a+1=\left(3a+1\right)^2\)

\(=\left(333...33+1\right)^2\) (n chữ số 3) \(=3333...334^2\) (n-1 chữ số 3)

=> ab+1 là một số chính phương => đpcm

a, \(x^8-y^8=\left(x^4\right)^2-\left(y^4\right)^2=\left(x^4-y^4\right)\left(x^4+y^4\right)\)

\(=\left(x^2-x^2\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^4+y^4\right)\)

b, \(x^6-1=\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

Thời gian đi nửa quãng đường đầu là: \(t_1=\dfrac{S}{2}:v=\dfrac{S}{2}:12=\dfrac{S}{24}\)

Thời gian đi nửa quãng đường còn lại là: \(t_2=\dfrac{S}{2}:v_2=\dfrac{S}{2.v_2}\)

Vận tốc trung bình trên cả quãng đường là:

\(v_{tb}=\dfrac{S}{t}=\dfrac{S}{t_1+t_2}\Rightarrow\dfrac{S}{\dfrac{S}{24}+\dfrac{S}{2.v_2}}=8\Rightarrow\dfrac{S}{\dfrac{S.\left(12+v_2\right)}{24.v_2}}=8\)

\(\Rightarrow\dfrac{24.v_2}{12+v_2}=8\Rightarrow24.v_2=96+8.v_2\Rightarrow16.v_2=96\Rightarrow v_2=6\)

Vậy \(v_2=6\) km/h

Theo định lí Bezout, ta có:

+) f(x) chia x-3 dư 2 => f(3)=2

+) f(x) chia x+4 dư 9 => f(-4)=9

Do f(x) chia cho \(x^2+x-12\) được thương là \(x^2+3\) và còn dư nên giả sử ax+b là số dư thì \(f\left(x\right)=\left(x^2+x-12\right)\left(x^2+3\right)+ax+b\)

\(=x^4+x^3-9x^2+3x-36+ax+b\)

\(\Rightarrow f\left(3\right)=2\Leftrightarrow3^4+3^3-9.3^2+3.3-36+ax+b=2\)

\(\Rightarrow0+ax+b=2\Rightarrow3a+b=2\) (1)

Vì \(f\left(-4\right)=9\Rightarrow\left(-4\right)^4+\left(-4\right)^3-9.\left(-4\right)^2-3.4-36-4a+b=9\)

\(\Rightarrow0-4a+b=9\Rightarrow4a-b=-9\) (2)

Từ (1) và (2) => (3a+b)+(4a-b)=2-9 => 7a=-7 => a=-1 => b=5 => ax+b=-x+5

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^4+x^3-9x^2+3x-36-x+5\)

\(=x^4+x^3-9x^2+2x-31\)

Vậy \(f\left(x\right)=x^4+x^3-9x^2+2x-31\)

Gọi \(t;t_1;t_2\) lần lượt là thời gian đi hết cả quãng đường, nửa thời gian đầu và nửa thời gian sau trên quãng đường còn lại, ta có: \(t_1=t_2=\dfrac{t}{2}\)

Ta có: \(S_1=\dfrac{t}{2}.v_1=\dfrac{t}{2}.30=15t\)

Mà \(S=v_{tb}.t=30.t\Rightarrow S_1=15.t=\dfrac{30.t}{2}=\dfrac{S}{2}\)

Độ dài mỗi nửa quãng đường trên đoạn đường còn lại là: \(\left(1-S_1\right):2=\left(1-\dfrac{1}{2}\right):2=\dfrac{S}{2}:2=\dfrac{S}{4}\)

Nửa thời gian đầu đi trên quãng đường đó là: \(S_1:v_1=\dfrac{S}{2}:30=\dfrac{S}{60}\)

Thời gian đi hết quãng đường đầu trên đoạn đường còn lại là:

\(\dfrac{S}{4}:v_2=\dfrac{S}{4}:20=\dfrac{S}{80}\)

Thời gian đi hết quãng đường cuối trên đoạn đường còn lại là:

\(\dfrac{S}{4}:v_3=\dfrac{S}{4.v_3}\)

Thời gian đi hết tất cả đoạn đường đó là: \(t=\dfrac{S}{60}+\dfrac{S}{80}+\dfrac{S}{4.v_3}=\dfrac{4.S.v_3}{240.v_3}+\dfrac{3.S.v_3}{240.v_3}+\dfrac{60.S}{240.v_3}=\dfrac{S.\left(4.v_3+3.v_3+60\right)}{240.v_3}\)

Mà \(v=\dfrac{S}{t}\Rightarrow30=\dfrac{S}{\dfrac{S.\left(4.v_3+3.v_3+60\right)}{240.v_3}}\Rightarrow30=\dfrac{240.v_3}{4.v_3+3.v_3+60}\)

\(\Rightarrow30.\left(4.v_3+3.v_3+60\right)=240.v_3\Rightarrow4.v_3+3.v_3+60=8.v_3\)

\(\Rightarrow v_3=60\)

Vậy \(v_3=60\) km/h

Ta có: \(A=\dfrac{1}{1.1981}+\dfrac{1}{2.1982}+...+\dfrac{1}{25.2005}\)

\(\Rightarrow1980A=\dfrac{1980}{1.1981}+\dfrac{1980}{2.1982}+...+\dfrac{1980}{25.2005}\)

\(=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{1981}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1982}+...+\dfrac{1}{25}-\dfrac{1}{2005}\)

\(=\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{25}\right)-\left(\dfrac{1}{1981}+\dfrac{1}{1982}+...+\dfrac{1}{2005}\right)\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{1980}\left[\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{25}\right)-\left(\dfrac{1}{1981}+\dfrac{1}{1982}+...+\dfrac{1}{2005}\right)\right]\)

Mặt khác: \(B=\dfrac{1}{1.26}+\dfrac{1}{2.27}+...+\dfrac{1}{1980.2005}\)

\(\Rightarrow25B=\dfrac{25}{1.26}+\dfrac{25}{2.27}+...+\dfrac{25}{1980.2005}\)

\(=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{26}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{27}+...+\dfrac{1}{1980}-\dfrac{1}{2005}\)

\(=\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{1980}\right)-\left(\dfrac{1}{26}+\dfrac{1}{27}+...+\dfrac{1}{2005}\right)\)

\(=\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{25}\right)-\left(\dfrac{1}{1981}+\dfrac{1}{1982}+...+\dfrac{1}{2005}\right)\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{1}{25}\left[\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{25}\right)-\left(\dfrac{1}{1981}+\dfrac{1}{1982}+...+\dfrac{1}{2005}\right)\right]\)

Do đó A:B=\(\dfrac{1}{1980}:\dfrac{1}{25}=\dfrac{5}{396}\)

Vậy A:B=\(\dfrac{5}{396}\)

Ta có: \(\left|x-3\right|=\left|4-x\right|\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=4-x\\x-3=x-4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+x=4+3\\x-x=-4+3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=7\\0x=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3,5\left(TM\right)\\0x=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy x=3,5