Đặt x-y=a; y-z=b; z-x=c => a+b+c=(x-y)+(y-z)+(z-x)

=> a+b+c=0 \(\Rightarrow a+b=-c\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)

\(\Rightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^2=-c^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3=0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3ab\left(-c\right)=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^3+\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)

a, Đổi \(30s=\dfrac{1}{120}h\). Gọi \(t_1,t_2,v_1,v_2\) lần lượt là thời gian xe 1 đi 1km, thời gian xe 2 đi 1km, vận tốc xe 1 và vận tốc xe 2. Vì \(v_1< v_2\)

\(\Rightarrow t_1>t_2\Rightarrow t_1-\dfrac{1}{120}=t_2\)

Ta có: \(v_1=\dfrac{1}{t_1}\) (1)

\(v_2=\dfrac{1}{t_2}=\dfrac{1}{t_1-\dfrac{1}{120}}\) (2)

Vì khi xe 2 tới A thi xe 1 cách A 30km và sau đó khi xe 2 cách A 30km thì xe 1 cách A 50km => trong cùng một khoảng thời gian, khi xe 1 đi được 20 km (=50-30) thì xe 2 đi được 30km.

Do đó, ta có: \(\dfrac{20}{v_1}=\dfrac{30}{v_2}\Rightarrow\dfrac{20}{\dfrac{1}{t_1}}=\dfrac{30}{\dfrac{1}{t_1-\dfrac{1}{120}}}\Rightarrow20t_1=30t_1-\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow10t_1=\dfrac{1}{4}\Rightarrow t_1=\dfrac{1}{40}\)

Thay vào (1) và (2), ta được \(v_1=40\) km/h; \(v_2=60\) km/h

Vậy vận tốc của xe 1 là 40km/h, vận tốc xe 2 là 60km/h

b, Ta có, quãng đường xe 1 đi trước xe 2 khi xe 2 đến A là 30km

Hiệu vận tốc của 2 xe là: \(60-40=20\) (km/h)

Thời gian xe 2 đuổi kịp xe 1 từ khi qua A là: \(30:20=1,5\) (giờ)

Vậy sau 1,5 giờ kể từ khi qua A, xe 2 đuổi kịp xe 1

Để (36 + 13x) chia hết cho 6 thì

\(36+13x\inƯ\left(6\right)=\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

Đổi 40 phút =2/3 giờ, 10 phút =1/6 giờ

Gọi quãng đường ca nô đi trong 2/3 giờ sau khi gặp bè gỗ là AD, quãng đường bè gỗ trôi sau khi gặp ca nô là AE. Trong 1/6 giờ sửa máy, quãng đường ca nô trôi là CD, quãng đường bè trôi là EF. B là điểm bè gặp ca nô.

Ta có: \(S_{AC}=\dfrac{2}{3}.\left(v_{ca-nô}-v_{nước}\right)\)

\(S_{AE}=\dfrac{2}{3}.v_{nước}\)

\(S_{CD}=\dfrac{1}{6}.v_{nước}\)

\(S_{EF}=\dfrac{1}{6}.v_{nước}\)

Gọi t là thời gian mà bè gặp ca nô tại B sau khi ca nô bị trôi 10 phút:

\(S_{BF}=v_{nước}.t\)

\(S_{BD}=\left(v_{nước}+v_{ca-nô}\right).t\)

Ta lại có: BD+CD-AC=BF+EF+AE=AB

\(\Leftrightarrow\left(v_{nước}+v_{ca-nô}\right).t+\dfrac{1}{6}.v_{nước}-\dfrac{2}{3}\left(v_{ca-nô}-v_{nước}\right)\)

\(=v_{nước}.t+\dfrac{1}{6}.v_{nước}+\dfrac{2}{3}.v_{nước}\)

\(\Leftrightarrow t.v_{nước}+t.v_{ca-nô}+\dfrac{1}{6}.v_{nước}-\dfrac{2}{3}.v_{ca-nô}+\dfrac{2}{3}.v_{nước}\)

\(=v_{nước}.t+\dfrac{1}{6}.v_{nước}+\dfrac{2}{3}.v_{nước}\)

\(\Rightarrow t.v_{ca-nô}-\dfrac{2}{3}.v_{ca-nô}=0\Rightarrow\left(t-\dfrac{2}{3}\right).v_{ca-nô}=0\)

\(\Rightarrow t-\dfrac{2}{3}=0\Rightarrow t=\dfrac{2}{3}\)

Mặt khác: \(S_{BF}+S_{EF}+S_{AE}=S_{AB}=4,5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}.v_{nước}+\dfrac{1}{6}.v_{nước}+\dfrac{2}{3}.v_{nước}=4,5\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}.v_{nước}=4,5\Rightarrow v_{nước}=3\)(km/h)

Vậy \(v_{nước}=3\) km/h

Gọi 5 số lẻ liên tiếp đó là 2a+1; 2a+3; 2a+5; 2a+7; 2a+9 (\(a\in Z\))

Theo bài ra, ta có: \(\dfrac{\left(2a+1\right)+\left(2a+3\right)+\left(2a+5\right)+\left(2a+7\right)+\left(2a+9\right)}{5}=2017\)

\(\Rightarrow\dfrac{10a+25}{5}=2017\Rightarrow10a+25=10085\Rightarrow10a=10060\)

\(\Rightarrow a=1006\) => số lớn nhất là 2a+9=1006.2+9=2021

Vậy số lớn nhất là 2021

\(a^3+a^2b-ab^2-b^3=\left(a^3+a^2b\right)-\left(ab^2+b^3\right)\)

\(=a^2\left(a+b\right)-b^2\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)\)

=7,3x(7,5-5,5-1)

=7,3x1

=7,3

Do số tự nhiên n chia 7 dư 4 => n có dạng n=7k+4 (\(k\in N\)*)

Ta có: +) \(n^2=\left(7k+4\right)^2=49k^2+56k+16=\left(49k^2+56k+14\right)+2\)

\(=7\left(7k^2+8k+2\right)+2\Rightarrow n^2\) chia 7 dư 2.

+) \(n^3=\left(7k+4\right)^2=343k^3+588k^2+336k+64\)

\(=\left(343k^3+588k^2+336k+63\right)+1=7\left(49k^3+84k^2+48k+9\right)+1\)

\(\Rightarrow n^3\) chia 7 dư 1

Vậy \(n^2\) chia 7 dư 2, \(n^3\) chia 7 dư 1

Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là: \(t_1=\dfrac{S}{v_1}=\dfrac{180}{30}=6\) (giờ)

Vì xe thứ 2 khởi hành sớm hơn xe thứ nhất 1 giờ nhưng dọc đường lại nghỉ 1,5 giờ nên thực chất xe thứ 2 chỉ đi mất: \(t_2=6+1-1,5=5,5\) (giờ)

Vận tốc của xe thứ 2 là: \(v_2=\dfrac{S}{t_2}=\dfrac{180}{5,5}=\dfrac{360}{11}\approx32,73\) (km/h)

Vậy vận tốc xe thứ 2 là \(\approx32,73\) km/h

a, \(a+b=10\Rightarrow\left(a+b\right)^2=10^2\Rightarrow a^2+2ab+b^2=100\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=100-2ab\Rightarrow a^2+b^2=100-2.4\Rightarrow a^2+b^2=100-8\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=92\). Vậy \(a^2+b^2=92\)

b, \(a+b=10\Rightarrow\left(a+b\right)^3=10^3\Rightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=1000\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=1000\Rightarrow a^3+b^3+3.4.10=1000\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+120=1000\Rightarrow a^3+b^3=880\). Vậy \(a^3+b^3=880\)

c, \(a+b=10\Rightarrow\left(a+b\right)^4=10000\)

\(\Rightarrow a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=10000\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+4ab\left(a^2+b^2\right)+6\left(ab\right)^2=10000\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+4.4.92+6.4^2=10000\Rightarrow a^4+b^4+992+96=10000\)

\(\Rightarrow a^4+b^4=8912\). Vậy \(a^4+b^4=8912\)

d, \(a+b=10\Rightarrow\left(a+b\right)^5=100000\)

\(\Rightarrow a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5=100000\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+5ab\left(a^3+b^3\right)+10a^2b^2\left(a+b\right)=100000\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+5.4.880+10.4^2.10=100000\)

\(\Rightarrow a^5+b^5+17600+1600=100000\Rightarrow a^5+b^5=80800\)

Vậy \(a^5+b^5=80800\)