Question

Cho U_n = 11....155....5 (có n chữ số 1 và n chữ số 5 )

CMR : U_n + 1 là số chính phương

Answer 1

Đặt 111...11 (n chữ số 1) =a thì 9a+1=100...00 (n chữ số 0) \(=10^n\)

Ta có: \(U_n=111...11555...55\) (n chữ số 1 và n chữ số 5)

=111...11 (n chữ số 1) . 100...00 (n chữ số 0) + 555...55 (n chữ số 5)

\(=a.10^n+5a=a\left(9a+1\right)+5a=9a^2+a+5a=9a^2+6a\)

\(\Rightarrow U_n+1=9a^2+6a+1=\left(3a+1\right)^2=\left(333...33+1\right)^2\) (n chữ số 3)

\(=333...334^2\) (n-1 chữ số 3) => \(U_n+1\) là 1 số chính phương

=> đpcm