Lời giải:

Để ý rằng \((x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\)

Áp dụng BĐT AM-GM thì \((x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz\)

\(\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(xy+yz+xz)(x+y+z)\)

Mặt khác, dùng AM-GM dễ thấy rằng \(xy+yz+xz\geq\sqrt[3]{(xyz)^2}=3\)

Do đó \(\Rightarrow (x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{3}(xy+yz+xz)(x+y+z)\)

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$

Lời giải:

Ta đi CM BĐT phụ sau: \(\frac{x}{x^2+1}\leq \frac{18x}{25}+\frac{3}{50}\). \((\star)\)

\(\Leftrightarrow \) \((4x+3)(3x-1)^2\geq 0\) (đúng với mọi $x$ dương)

Do đó $(\star)$ luôn đúng. Thiết lập các BĐT tương tự với $y,z$ rồi cộng lại, ta thu được \(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq \frac{18}{25}+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}\) (đpcm)

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

sao hỏi quài dzậy?? 

Một công ty muốn chạy một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo mà là 6 km từ bờ biển

Câu bôi đậm có nghĩa gì vậy bạn =)))

8 - 10 = 2 vì 10 - 8 = 2

3 + 3 = 2 người cha ( khi đố )

3 + 3 = 6 ( khi tính )

Câu 1:Gọi biểu thức là $A$. Đặt \(\sqrt{e^x-1}=t\)

\(\Rightarrow e^x=t^2+1\Rightarrow d(e^x)=d(t^2+1)=2tdt=e^xdx=(t^2+1)dx\)

\(\Rightarrow \int \frac{2t^2}{t^2+1}dt=\int \left (2-\frac{2}{t^2+1} \right)dt\)

Đặt \(t=\tan m\Rightarrow dt=\frac{dm}{\cos^2 m}\Rightarrow \int \frac{2dt}{t^2+1}=\int 2dm=2m\)

\(\Rightarrow A=2t-2m+c=2\sqrt{e^x-1}-2\tan ^{-1} (\sqrt{e^x-1})+c\)

Câu 2: Đặt \(x=\tan t\Rightarrow dx=\frac{dt}{\cos^2 t}, x^2+1=\frac{1}{\cos^2 t}\) với \(\frac{-\pi}{2} < t< \frac{\pi}{2}\)

Gọi biểu thức là $B$. Ta có

\(B=\int \frac{\cos t dt}{\sin ^4t}=\int \frac{d(\sin t)}{\sin^4 t}=\frac{-\sin ^{-3} t}{3}+c\) \(=-\frac{\sqrt{(x^2+1)^3}}{3x^3}+c\)

Có : \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{dx}{x(x+1)}=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right )dx\) \(=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{dx}{x}-\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{d(x+1)}{x}\)

\(=(\ln|x|-\ln|x+1|)\mid _{\frac{1}{2}}^{2}=\ln 2\)

Lời giải:

\(\int \frac{dx}{e^x+1}=\int \frac{e^xdx}{e^x(e^x+1)}=\int \frac{d(e^x)}{e^x(e^x+1)}=\int \left ( \frac{d(e^x)}{e^x}-\frac{d(e^x+1)}{e^x+1} \right )\)

\(=\ln|e^x|-ln|e^x+1|+c=x-\ln(e^x+1)+c\)

Vì bạn Hoàng bài 5 rồi nên mình xin phép làm nốt bài còn lại

Bài 4:

Phân tích được \(D=\int \frac{dx}{x^3\sqrt[3]{2-x^3}}=\frac{1}{2}\left ( \int \frac{dx}{\sqrt[3]{2-x^3}}+\int \frac{\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{x^3})x \right )\)

Xét \(\int \frac{\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{x^3}dx \) dùng nguyên hàm từng phần \(\left\{\begin{matrix}u=\sqrt[3]{(2-x^3)^2}\\ dv=\frac{dx}{x^3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int \frac{\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{x^3}dx=\frac{-\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{2x^2}-\int \frac{dx}{\sqrt[3]{2-x^3}}\Rightarrow D=\frac{-\sqrt[3]{(2-x^3)^2}}{4x^2}+c\)