Question

Cho x,y,z là ba số không âm thỏa mãn: x + y + z = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{x}{1+x^2}+\frac{y}{1+y^2}+\frac{z}{1+z^2}\le\frac{9}{10}\)

Answer 1

Lời giải:

Ta đi CM BĐT phụ sau: \(\frac{x}{x^2+1}\leq \frac{18x}{25}+\frac{3}{50}\). \((\star)\)

\(\Leftrightarrow \) \((4x+3)(3x-1)^2\geq 0\) (đúng với mọi $x$ dương)

Do đó $(\star)$ luôn đúng. Thiết lập các BĐT tương tự với $y,z$ rồi cộng lại, ta thu được \(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq \frac{18}{25}+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}\) (đpcm)

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$