Ta có:

\(A=\dfrac{196}{197}+\dfrac{197}{198}\)

\(B=\dfrac{196+197}{197+198}\)

\(=\dfrac{196}{197+198}+\dfrac{197}{197+198}\)

Áp dụng tính chất \(\dfrac{a}{b}>\dfrac{a}{b+m}\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{196}{197}>\dfrac{196}{197+198}\\\dfrac{197}{198}>\dfrac{197}{197+198}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{196}{197}+\dfrac{197}{198}>\dfrac{196}{197+198}+\dfrac{197}{197+198}=\dfrac{196+197}{197+198}\)

Vậy \(A>B\)

Giải:

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=\dfrac{14}{22}\\\dfrac{c}{d}=\dfrac{11}{13}\\\dfrac{e}{f}=\dfrac{13}{17}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=\dfrac{7}{11}\\\dfrac{c}{d}=\dfrac{11}{13}\\\dfrac{e}{f}=\dfrac{13}{17}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{7}=\dfrac{b}{11}\\\dfrac{c}{11}=\dfrac{d}{13}\\\dfrac{e}{13}=\dfrac{f}{17}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{7}=\dfrac{b}{11}=\dfrac{a+b}{7+11}=\dfrac{M}{18}\left(1\right)\\\dfrac{c}{11}=\dfrac{d}{13}=\dfrac{c+d}{11+13}=\dfrac{M}{24}\left(2\right)\\\dfrac{e}{13}=\dfrac{f}{17}=\dfrac{e+f}{13+17}=\dfrac{M}{30}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Kết hợp \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\)

\(\Rightarrow M\in BC\left(18;24;30\right)\)

Mặt khác \(M\) là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số

Nên \(M=1080\)

Vậy \(M=1080\)

Ta có:

\(\left|a^2+5^2\right|=\left(-43\right)+\left|-93\right|\)

\(\left|a^2+5^2\right|=\left(-43\right)+93\)

\(\left|a^2+5^2\right|=50\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2+5^2=50\\a^2+5^2=-50\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2=25\\a^2=-25\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\pm5\\a=\varnothing\end{matrix}\right.\)

Mà \(a\) là nguyên âm

Nên \(a=-5\)

Đặt \(S=\dfrac{1}{7^2}-\dfrac{1}{7^4}+...+\dfrac{1}{7^{4n-2}}-\dfrac{1}{7^{4n}}+...+\dfrac{1}{7^{98}}-\dfrac{1}{7^{100}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S}{7^2}=\dfrac{1}{7^4}-\dfrac{1}{7^6}+...+\dfrac{1}{7^{100}}-\dfrac{1}{7^{102}}\)

\(\Rightarrow S+\dfrac{S}{7^2}=\left(\dfrac{1}{7^2}-\dfrac{1}{7^4}+...+\dfrac{1}{7^{98}}-\dfrac{1}{7^{100}}\right)+\left(\dfrac{1}{7^4}-\dfrac{1}{7^6}+...+\dfrac{1}{7^{100}}-\dfrac{1}{7^{102}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{50S}{49}=\dfrac{1}{7^2}-\dfrac{1}{7^{102}}< \dfrac{1}{7^2}=\dfrac{1}{49}< \dfrac{1}{50}\)

\(\Leftrightarrow S< \dfrac{1}{50}\)

Vậy \(\dfrac{1}{7^2}-\dfrac{1}{7^4}+...+\dfrac{1}{7^{98}}-\dfrac{1}{7^{100}}< \dfrac{1}{50}\) (Đpcm)

Giải:

Số đó chia hết cho \(18\Rightarrow\) Số đó chia hết cho \(2;9\)

\(\Rightarrow\) Số đó có chữ số tận cùng là chẵn và tổng các chữ số của số đó chia hết cho \(9\)

Chữ số tận cùng chẵn và lớn nhất chỉ có thể bằng \(8\), mỗi chữ số còn lại lớn nhất bằng \(9\)

\(\Rightarrow\) Tổng các 3 chữ số lớn nhất bằng: \(9+9+8=26\)

Tổng các chữ số đó chia hết cho \(9\) chỉ có thể bằng \(9\) hoặc \(18\)

Gọi 3 chữ số đó là \(a,b,c\) và \(\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{3}\)

Nếu \(a+b+c=9\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{3}=\dfrac{a+b+c}{1+2+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow a=\dfrac{3}{2}\) (loại)

Vậy \(a+b+c=18\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{3}=\dfrac{a+b+c}{1+2+3}=\dfrac{18}{6}=3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3.1=3\\b=2.3=6\\c=3.3=9\end{matrix}\right.\)

Vì chữ số tận cùng là chẵn nên số cần tìm là \(396\) và \(936\)

Giải:

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}-n=0\\\dfrac{m}{2}-p=0\\\dfrac{m}{2}-q=0\\\dfrac{m}{2}-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{m}{2}\\p=\dfrac{m}{2}\\q=\dfrac{m}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=p=q=1\end{matrix}\right.\)

Giải:

Do \(a\in Z^+\)

\(\Rightarrow5^b=a^3+3a^2+5>a+3=5^c\)

\(\Rightarrow5^b>5^c\Rightarrow b>c\Rightarrow5^b⋮5^c\)

\(\Rightarrow a^3+3a^2+5⋮a+3\)

\(\Rightarrow a^2\left(a+3\right)+5⋮a+3\)

Mà \(a^2\left(a+3\right)⋮a+3\)

\(\Rightarrow5⋮a+3\Rightarrow a+3\inƯ\left(5\right)\)

\(\Rightarrow a+3=\left\{\pm1;\pm5\right\}\left(1\right)\)

Do \(a\in Z^+\Rightarrow a+3\ge4\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)

\(\Rightarrow a+3=5\Rightarrow a=2\)

\(\Rightarrow2^3+3.2^2+5=5^b=5^5\Leftrightarrow b=5\)

\(\Rightarrow2+3=5^c=5^1\Leftrightarrow c=1\)

Vậy: \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=1\end{matrix}\right.\)

Dùng BĐT Bunhiacopski:

Ta có: \(ac+bd\le\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}\)

Mà \(\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)

\(=a^2+b^2+2\left(ac+bd\right)+c^2+d^2\)

\(\le\left(a^2+b^2\right)+2\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}+c^2+d^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\) (Đpcm)