Giải:

Vì \(x,y,z\) là các số nguyên nên:

\(x^2+y^2+z^2\le xy+3y+2z-3\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+3\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+\dfrac{y^2}{4}\right)+\left(\dfrac{3y^2}{4}-3y+3\right)+\left(z^2-2z+1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+3\left(\dfrac{y}{2}-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\le0\)

Mà \(\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+3\left(\dfrac{y}{2}-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\le0\forall x,y\in R\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+3\left(\dfrac{y}{2}-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{y}{2}=0\\\dfrac{y}{2}-1=0\\z-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=1\end{matrix}\right.\)

Vậy các số nguyên \(x,y,z\) phải tìm là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=1\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\left(a-b\right)^2+6ab=36\)

\(\Rightarrow6ab=36-\left(a-b\right)^2\le36+0\)

\(\Rightarrow ab\le\dfrac{36}{6}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}a=b=\sqrt{6}\\a=b=-\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(MAX_{x=ab}=6\)

Cho \(I,K\in AB\)

\(AB=7cm\)

\(AI=4cm\)

\(BK=2cm\)

Hỏi: Chứng tỏ \(I\) nằm giữa \(A\) và \(K\)

Tính: \(IK=?\)

Giải:

\((*)\) Vì \(I,K\in AB\) nên 3 điểm \(A,K,B\) thẳng hàng

\(BK< BA\left(2cm< 7cm\right)\)

Nên \(K\) nằm giữa \(A\) và \(B\left(1\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) suy ra: \(AK+BK=AB\)

Thay số: \(AK+2=7\)

\(AK=7-2\)

\(AK=5\left(cm\right)\)

Vì \(I,K\in AB\) nên 3 điểm \(A,I,K\) thẳng hàng

\(AI< AK\left(4cm< 5cm\right)\)

Nên \(I\) nằm giữa \(A\) và \(K\left(2\right)\)

\((*)\) Từ \(\left(2\right)\) suy ra: \(AI+IK=AK\)

Thay số: \(4+IK=5\)

\(IK=5-4\)

\(IK=1\left(cm\right)\)

Vậy \(IK=1cm\)

Bài 2:

\(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}=\dfrac{2016}{2017}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2016}{2017}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2016}{2017}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+1}=1-\dfrac{2016}{2017}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2017}\)

\(\Leftrightarrow x+1=2017\Leftrightarrow x=2016\)

Vậy \(x=2016\)