Giải:

Ta có: \(\dfrac{P}{m-1}=\dfrac{m+n}{P}\left(1\right)\)

Nếu \(m+n⋮P\)

\(\Rightarrow P⋮m-1\) do \(P\) là số nguyên tố và \(m,n\in N\)*

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=P+1\end{matrix}\right.\) Khi đó từ \(\left(1\right)\) ta có \(P^2=n+2\)

Nếu \(m+n\) \(⋮̸\) \(P\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\left(m+n\right)\left(m-1\right)=P^2\)

Do \(P\) là số nguyên tố và \(m,n\in N\)*

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1=P^2\\m+n=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=P^2+1\\n=-P^2< 0\end{matrix}\right.\) (loại)

Vậy \(P^2=n+2\) (Đpcm)

- 4 điểm không thẳng hàng vẽ được: 4(4-1):2 = 6 (đường thẳng)

- 4 điểm thẳng hàng vẽ được 1 đường thẳng

=> Số đường thẳng bị hụt đi là:

 6 - 1 = 5 (đường thẳng)

- Nếu trong 7 điểm không có 4 điểm nào thẳng hàng thì vẽ được:

7.(7-1):2 = 21 (đường thẳng)

=> 7 diểm trong đó có 4 điểm thẳng hàng thì vẽ được:

21 - 5 = 16 (đường thẳng)

KL: 16 đường thẳng

Giải:

Ta có:

Các phân số đã cho đều có dạng \(\dfrac{a}{a+\left(n+2\right)}\)

Vì các phân số này tối giản

Nên \(n+2\) và \(a\) phải là hai số nguyên tố cùng nhau

Vậy \(n+2\) phải nguyên tố cùng nhau với \(7;8;9;...31\) và \(n+2\) phải nhỏ nhất

\(\Rightarrow n+2\) phải là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn \(31\)

\(\Rightarrow n+2=37\Rightarrow n=35\)

Vậy \(n=35\) thì các phân số trên tối giản

Giải:

Giả thiết \(AC>AB\) thì phải chứng minh \(BM< CN\)

Thực hiện \(T\overrightarrow{\left(NM\right)}\) thì: \(B\rightarrow B';C\rightarrow C';CN\rightarrow C'M;BN\rightarrow B'M\)

Bài toán trở thành \(BM< C'M\)

Từ \(M\) hạ \(MH\) vuông góc với \(BC\)

Do \(AC>AB\Rightarrow\dfrac{1}{2AC}>\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow BC>MB'\)

\(\Rightarrow HC>HB'\) (đường xiên lớn thì hình chiếu lớn hơn).

Lại có:

\(BB'=NM=CC'\Rightarrow CC+HC>BB'+B'H\)

\(\Rightarrow HC'>BH\Rightarrow MC'>MB\) Hay \(BM< C'M\)

\(\Rightarrow CN>MB\) Hay \(BM< CN\)

Vậy trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ thì lớn hơn trung tuyến ứng với cạnh lớn (Đpcm)

Đặt \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{5}=k\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2k\\y=5k\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(x.y=40\Rightarrow2k.5k=40\)

\(\Rightarrow10k^2=40\Rightarrow k^2=4\)

\(\Rightarrow k=\sqrt{4}=\pm2\)

Với \(k=2\):

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2.2=4\\y=5.2=10\end{matrix}\right.\)

Với \(k=-2\):

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2.\left(-2\right)=-4\\y=5.\left(-2\right)=-10\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}x=4,y=10\\x=-4,y=-10\end{matrix}\right.\)

a) Thiếu ĐK: \(a+b+c=0\)

Giải:

Ta có:

\(a^3+a^2c-abc+b^2c+b^3\)

\(=a^3+a^2c+a^2b-a^2b-abc+b^2c+b^3+b^2a-b^2a\)

\(=a^2\left(a+b+c\right)-a^2b-abc+b^2\left(a+b+c\right)-b^2a\)

\(=-a^2b-abc-b^2a\)

\(=-ab\left(a+b+c\right)\)

Mà \(a+b+c=0\) nên:

\(=-ab.0\)

\(=0\)

Vậy \(a^3+a^2c-abc+b^2c+b^3=0\) (Đpcm)

Giải:

Ta có:

\(x^2-2y^2=1\)

\(\Rightarrow x^2-1=2y^2\)

Nếu \(x⋮3\) thì:

Vì \(x\) là số nguyên tố nên \(x=3\) lúc đó \(y=2\) (thỏa mãn)

Nếu \(x⋮̸\)\(3\) thì:

\(x^2-1⋮3\) do đó \(2y^2⋮3\)

Mà \(\left(2;3\right)=1\) nên \(y⋮3\) khi đó \(x^2=19\) (không thỏa mãn)

Vậy cặp số \(\left(x;y\right)\) duy nhất tìm được thỏa mãn điều kiện là \(\left(2;3\right)\)