Ta có:

\(A=\dfrac{9}{a^{2013}}+\dfrac{7}{a^{2014}}\)

\(=\left(\dfrac{8}{a^{2013}}+\dfrac{1}{a^{2013}}\right)+\left(\dfrac{8}{a^{2014}}-\dfrac{1}{a^{2014}}\right)\)

\(=\left(\dfrac{8}{a^{2013}}+\dfrac{8}{a^{2014}}\right)+\left(\dfrac{1}{a^{2013}}-\dfrac{1}{a^{2014}}\right)\)

\(B=\dfrac{8}{a^{2014}}+\dfrac{8}{a^{2013}}\)

\(=\dfrac{8}{a^{2013}}+\dfrac{8}{a^{2014}}\)

Vì \(\dfrac{1}{a^{2013}}>\dfrac{1}{a^{2014}}\Rightarrow\dfrac{1}{a^{2013}}-\dfrac{1}{a^{2014}}>0\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{8}{a^{2013}}+\dfrac{8}{a^{2014}}\right)+\left(\dfrac{1}{a^{2013}}-\dfrac{1}{a^{2014}}\right)>\dfrac{8}{a^{2013}}+\dfrac{8}{a^{2014}}\)

Vậy \(A>B\)

Ta có:

\(4^1=4;4^2=16;4^3=64;4^4=256;...\)

\(\Rightarrow4^{2k}\) có chữ số tận cùng là \(6\)

\(\Rightarrow4^{2k+1}\) có chữ số tận cùng là \(4\)

Vậy \(2014^{2015}\) có dạng \(4^{2k+1}\) \(\Rightarrow\) Chữ số tận cùng là \(4\)

\(2015^{2014}\) có chữ số tận cùng là \(5\)

\(\Rightarrow A=2014^{2015}-2015^{2014}=\left(...4\right)-\left(...5\right)=...9\)

Vậy \(A=2014^{2015}-2015^{2014}\) có chữ số tận cùng là \(9\)

Ta có:

\(\dfrac{3}{1^2.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+\dfrac{7}{3^2.4^2}+...+\dfrac{19}{9^2+10^2}\)

\(=\left(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}\right)+\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}\right)+...+\left(\dfrac{1}{9^2}-\dfrac{1}{10^2}\right)\)

\(=\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{9^2}-\dfrac{1}{10^2}\)

\(=\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{10^2}\)

\(=1-\dfrac{1}{100}\)

Vì \(1-\dfrac{1}{100}< 1\)

Nên \(\dfrac{3}{1^2.2^2}+\dfrac{5}{2^2.3^2}+\dfrac{7}{3^2.4^2}+...+\dfrac{19}{9^2+10^2}< 1\) (Đpcm)

b) Giải:

Trên tia đối của tia \(IP\) lấy điểm \(D\) sao cho \(IP=IA\)

Xét \(\Delta MPI\) và \(\Delta NAI\) ta có:

\(IP=IA\)

\(IM=IN\) ( \(I\) là trung điểm của \(MN\))

\(\widehat{MIP}=\widehat{NAI}\) (Hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta MIP=\Delta NAI\left(t.g.c\right)\)

Xét \(\Delta PAN\):

Theo BĐT tam giác ta có:

\(PN+NA>PA\)

Mà \(NA=MP\left(\Delta MIP=\Delta NAI\right)\)

\(\Rightarrow PN+PM>PA\)

Hay \(PN+PM>2PI\) (Đpcm)

Ta có:

\(\overline{ababab}=10000\overline{ab}+100\overline{ab}+\overline{ab}\)

\(=\overline{ab}\left(10000+100+1\right)\)

\(=\overline{ab}.10101\)

Vì \(10101⋮3\)

\(\Rightarrow\overline{ab}.10101⋮3\)

\(\Rightarrow\overline{ababab}⋮3\)

Vậy \(\overline{ababab}\in B\left(3\right)\) (Đpcm)