Tóm tắt:

Cho:

\(\widehat{xOm}=40^0\)

\(\widehat{yOn}=70^0\)

\(Ot\) là tia phân giác của \(\widehat{xOm}\)

Tính:

a) \(\widehat{xOn}=?\)

b) \(\widehat{tOn}=?\)

Giải:

a) Vì \(Om\) và \(On\) cùng nằm trên \(1\) nửa mặt phẳng bờ chứa tia \(xy\)

Nên: \(\widehat{xOm}+\widehat{mOn}+\widehat{yOn}=\widehat{xOy}\)

Thay số: \(40^0+\widehat{mOn}+70^0=180^0\)

\(\widehat{mOn}=180^0-70^0-40^0\)

\(\widehat{mOn}=70^0\)

Vậy: \(\widehat{xOm}+\widehat{mOn}=\widehat{xOn}\)

Thay số: \(40^0+70^0=110^0\)

Vậy: \(\widehat{xOn}=110^0\)

b) Vì \(Ot\) là tia phân giác của \(\widehat{xOm}\)

Nên: \(\widehat{tOm}=\dfrac{\widehat{xOm}}{2}\)

Thay số: \(\widehat{tOm}=\dfrac{40^0}{2}\)

\(\widehat{tOm}=20^0\)

Trên cùng \(1\) nữa mặt phẳng bờ chứa tia \(xy:\)

\(\widehat{tOm}< \widehat{mOn}\left(20^0< 70^0\right)\)

\(\Leftrightarrow\) Tia \(Om\) nằm giữa hai tia \(Ot\) và \(On\)

Vậy: \(\widehat{tOm}+\widehat{mOn}=\widehat{tOn}\)

Thay số: \(20^0+70^0=90^0\)

Vậy \(\widehat{tOn}=90^0\)

Ta có:

\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-\left(a+b+c+d\right)\)

\(=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\)

Vì \(a\) là số nguyên dương

\(\Rightarrow a;a\left(a-1\right)\) là hai số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)⋮2\). Tương tự: \(\left\{\begin{matrix}b\left(b-1\right)⋮2\\c\left(c-1\right)⋮2\\d\left(d-1\right)⋮2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\) là số chẵn

Lại có:

\(a^2+c^2=b^2+d^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+d^2\right)\) là số chẵn

Do đó \(a+b+c+d\) là số chẵn \(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c+d>2\)\((a,b,c,d\) \(\in\) \(N*)\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c+d\) là hợp số (Đpcm)

Đặt \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

Mà \(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow A>1\left(1\right)\)

Lại có:

\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế ta lại được:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)

Mà \(\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow A< 2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\)

\(\Rightarrow1< A< 2\)

Vậy \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không phải là số nguyên (Đpcm)