khó thế                   

a) Xét t/g AMD và t/g CMB có:

AM = MC (gt)

AMD = CMB ( đối đỉnh)

MD = MB (gt)

Do đó, t/g AMD = t/g CMB (c.g.c)

=> AD = BC (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Xét t/g BMA và t/g DMC có:

MB = MD (gt)

BMA = DMC ( đối đỉnh)

MA = MC (gt)

Do đó, t/g BMA = t/g DMC (c.g.c)

=> ABM = CDM (2 góc tương ứng)

Mà ABM và CDM là 2 góc ở vị trí so le trong nên AB // CD

Mà AB _|_ AC (gt) => AC _|_ CD hay AC _|_ DN

Có: BN // AC (gt)

AB // CN (cmt)

=> AB = CN ( tính chất đoạn chắn)

Xét t/g ABM vuông tại A và t/g CNM vuông tại C có:

AB = CN (cmt)

AM = CM (gt)

Do đó, t/g ABM = t/g CNM (2 cạnh góc vuông) (đpcm)

Ta có:

1/1+a = (1 - 1/1+b) + (1 - 1/1+c) = b/1+b + c/1+c >= 2.căn bc/(1+b)(1+c) (theo bđt AM-GM)

Tương tự như vậy ta cũng có:

1/1+b >= 2.căn ac/(1+a)(1+c)

1/1+c >= 2.căn ab/(1+a)(1+b)

Vì 2 vế của các bđt đều dương do a;b;c dương nên nhân theo từng vế của bđt ta được:

1/1+a . (1/1+b) . (1+1/c) >= 8.căn(abc)^2/[1+a)(1+b)(1+c)]^2

=> abc <= 1/8

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/2

a) Xét t/g OAM vuông tại A và t/g OBN vuông tại B có:

OA = OB (gt)

O là góc chung

Do đó, t/g OAM = t/g OBN ( cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

=> AMO = BNO (2 góc tương ứng)

OM = ON (2 cạnh tương ứng) (1)

Lại có: OB = OA (gt)

=> OM - OB = ON - OA

=> BM = AN (2)

(1) và (2) là đpcm

b) Xét t/g HAN vuông tại A và t/g HBM vuông tại B có:

AN = BM (câu a)

ANH = BMH (câu a)

Do đó, t/g HAN = t/g HBM ( cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

=> HN = HM (2 cạnh tương ứng)

Dễ dàng c/m t/g NOH = t/g MOH (c.c.c)

=> NOH = MOH (2 góc tương ứng)

=> OH là phân giác NOM hay OH là phân giác xOy (đpcm)

c) Dễ dàng c/m t/g NOI = t/g MOI (c.c.c)

=> NOI = MOI (2 góc tương ứng)

=> OI là phân giác NOM

Mà OH cũng là phân giác NOM

Nên O,H,I thẳng hàng (đpcm)

Vì AM = AN (gt) nên t/g AMN cân tại A

=> AMN = ANM

=> MAN = 180^o - 2.AMN

Vì t/g ABC cân tại A nên ABC = ACB

=> BAC = 180^o - 2.ABC (2)

Từ (1) và (2) => AMN = ABC

Mà AMN và ABC là 2 góc ở vị trí đồng vị nên MN // BC (1)

Xét t/g ABN và t/g ACM có:

AB = AC (gt)

A là góc chung

AN = AM (gt)

Do đó, t/g ABN = t/g ACM (c.g.c)

=> BN = CM (2 cạnh tương ứng) (2)

(1) và (2) là đpcm

       Thể tích bể cá đó là:

          30 . 30 . 30 = 27000  ( cm³ )

       Mực nước còn lại của bể cá là:

          30 - 5 = 25 ( cm )

       Thể tích phần còn lại của bể cá là:

         30 . 30 . 25 =  22500 ( cm³ )

       Thể tích hòn núi giả chính là phần nước bị tràn ra ngoài:

         27000 - 22500 =  4500 ( cm³ )

                Đáp số : 4500 cm³

a) Xét t/g OAK vuông tại A và t/g OBD vuông tại B có:

OA = OB (gt)

AOK = BOD ( đối đỉnh)

Do đó, t/g OAK = t/g OBD ( cạnh góc vuông và góc nhọn kề) (1)

=> OK = OD (2 cạnh tương ứng)

=> O là trung điểm của KD (2)

(1) và (2) là đpcm

b) Gọi K là giao điểm giữa tia đối của tia OC và tia đối của tia By

Xét t/g AOC vuông tại A và t/g BOK vuông tại B có:

OA = OB (gt)

AOC = BOK ( đối đỉnh)

Do đó, t/g AOC = t/g BOK ( cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

=> OC = OK (2 cạnh tương ứng)

AC = BK (2 cạnh tương ứng)

Mà BK + BD = KD nên AC + BD = KD (1)

Xét t/g COD vuông tại O và t/g KOD vuông tại O có:

OC = OK (cmt)

OD là cạnh chung

Do đó, t/g COD = t/g KOD (2 cạnh góc vuông)

=> CD = KD (2 cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) => AC + BD = CD (đpcm)

Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\left(ĐPCM\right)\)

a) Dễ thấy: BAH + CAK = 90^o (1)

t/g BHA vuông tại H có: HBA + BAH = 90^o (2)

Từ (1) và (2) => CAK = HBA

Xét t/g AKC vuông tại K và t/g BHA vuông tại H có:

AC = AB (gt)

CAK = ABH (cmt)

Do đó, t/g AKC = t/g BHA ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> CK = AH (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) t/g AKC = t/g BHA (cmt)

=> AK = BH (2 cạnh tương ứng)

Lại có: CK = AH (câu a)

=> AK + AH = BH + CK

=> HK = BH + CK (đpcm)

Theo đề đúng thì lm như sau:

a) Có: DE // BF (gt)

EF // BD (gt)

Suy ra BD = EF (theo tính chất đoạn chắn) (đpcm)

b) Vì EF // AB (gt) => ADE = DEF (so le trong) (1)

ED // BC (gt) => DEF = EFC (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => ADE = EFC

Xét t/g ADE và t/g EFC có:

EAD = CEF ( đồng vị)

AD = EF ( cùng = BD)

ADE = EFC (cmt)

Do đó, t/g ADE = t/g EFC (g.c.g) (đpcm)

c) Xét t/g MFE và t/g MDB có:

MF = MD (gt)

MFE = MDB (so le trong)

FE = DB (câu a)

Do đó, t/g MFE = t/g MDB (c.g.c)

=> EMF = BMD (2 góc tương ứng)

Mà EMF + EMD = 180^o

Nên BMD + EMD = 180^o

=> BME = 180^o

hay B,M,E thẳng hàng (đpcm)