Ta có : \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=c\) 

Ta có : \(n\left(n^2+1\right)\left(n^2+4\right)=n\left(n^2-4+5\right)\left(n^2-1+5\right)=\left[n\left(n^2-4\right)+5n\right]\left[\left(n^2-1\right)+5\right]=n\left(n^2-4\right)\left(n^2-1\right)+5n\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2+4\right)\)

\(=n\left(n^2-4\right)\left(n^2-1\right)+5n\left(n^2-4+n^2+4\right)=\left(n-2\right).\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)+10n^3\)

Vì (n-2)(n-1).n.(n+1)(n+2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5

\(10n^3\) có chứa thừa số 5 nên chia hết cho 5

Do đó ta có điều phải chứng minh.

\(900\)

Vì bớt ở kho A 85 tấn chuyển sang kho B thì kho B nhiều hơn 14 tấn nên ban đầu, kho A có nhiều hơn kho B:         85*2-14=156(tấn)

Lúc đầu kho A có: (5998+156) /2=3077 ( tấn)

Lúc đầu kho B có : 3077--156=2921 ( tấn )

Gọi số tự nhiên cần tìm là n ( 0 < n < 2002 ) , tổng các chữ số của n là S(n) > 0

Ta có : \(n+S\left(n\right)=2002\Rightarrow\begin{cases}n< 2002\\S\left(n\right)< n\end{cases}\)

Mặt khác, ta lại có : \(S\left(n\right)\le9+9+9+1=28\Rightarrow n\ge1974\)

Vậy : \(1974\le n\le2001\) . Xét n trong khoảng trên được n = 1982 và n = 2000 thoả mãn đề bài.

Giả sử ƯCLN(8a+3,5a+2) = d (\(d\ge1\))

Ta có : \(\begin{cases}8a+3⋮d\\5a+2⋮d\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}5\left(8a+3\right)⋮d\\8\left(5a+2\right)⋮d\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}40a+15⋮d\\40a+16⋮d\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(40a+16\right)-\left(40a+15\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\le1\)

Mà \(d\ge1\) \(\Rightarrow d=1\RightarrowƯCLN\left(8a+3,5a+2\right)=1\)

\(A=\frac{10^5-1+5}{10^5-1}=1+\frac{5}{10^5-1}\)

\(B=\frac{10^5-2+5}{10^5-2}=1+\frac{5}{10^5-2}\)

Cho 6,3 gam hỗn hợp X gồm axit axetic, axit propionic và axit acrylic vừa đủ để làm mất màu hoàn toàn dung dịch chứa 6,4 gam brom. Để trung hoàn toàn 3,15 gam hỗn hợp X cần 90 ml dung dịch NaOH 0,5M. Thành phần phần trăm khối lượng của axit axetic trong hỗn hợp X là

A. 35,24%.

B. 23,49%.

C. 19,05%.

D. 45,71%.

a) Dễ thấy \(\Delta HBM\) và \(\Delta KCM\) là nửa các tam giác đều

Đặt BM = x ; CM = y \(\Rightarrow x+y=a\) (không đổi)

Ta có \(MH=sinB.BM=\frac{\sqrt{3}x}{2}\) ; \(MK=sinC.CM=\frac{\sqrt{3}y}{2}\)

\(\Rightarrow MH+MK=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)=\frac{\sqrt{3}a}{2}\) không đổi.

b) Vì MH + MK không đổi khi M di chuyển trên BC (câu a) nên MH.MK đạt giá trị lớn nhất \(\Leftrightarrow MH=MK\)

Theo bất đẳng thức Cosi, ta có : \(MH.MK\le\frac{\left(MH+MK\right)^2}{4}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)^2}{4}=\frac{3a^2}{16}\)

Vậy Max MH.MK \(=\frac{3a^2}{16}\Leftrightarrow MH=MK\Leftrightarrow MB=MC\Leftrightarrow\)M là trung điểm của BC

 \(x^2-x+\sqrt{x}\left(6-2x\right)-3=0\) (ĐKXĐ : \(3< x\le\frac{1+\sqrt{13}}{2}\))

\(\Leftrightarrow\left(6-2x\right)\left(\sqrt{x}+x-1\right)+3x^2-9x+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(6-2x\right)\left[\left(\sqrt{x}\right)-\left(1-x\right)\right]+3\left(x^2-3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(6-2x\right).\frac{x-\left(1-x\right)^2}{\sqrt{x}+1-x}+3\left(x^2-3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(6-2x\right)\frac{-x^2+3x-1}{\sqrt{x}+1-x}+3\left(x^2-3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-3x+1\right)\left(\frac{2x-6}{\sqrt{x}+1-x}+3\right)=0\)

Trường hợp 1 : \(x^2-3x+1=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\left(\text{loại}\right)\\x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\left(\text{nhận}\right)\end{array}\right.\)

Trường hợp 2 : \(\frac{2x-6}{\sqrt{x}+1-x}+3=0\) , từ điều kiện \(3< x\le\frac{1+\sqrt{13}}{2}\) ta luôn có \(\frac{2x-6}{\sqrt{x}+1-x}+3>0\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)