Ta sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương như sau :

Ta có : \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\left(1\right)\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\Leftrightarrow a+b< a+b+2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}>0\Leftrightarrow\sqrt{ab}>0\) (luôn đúng)

Vì bất đẳng thức cuối luôn đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Tổng quát

Giải sử số a,bc(def) = \(\frac{abcdef-abc}{99900}\)

=> 2,(21) = \(\frac{221-2}{99}=\frac{219}{99}=\frac{73}{33}\)

\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)

\(x^4-8x^3+6x^2+24x+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-6x^3-3x^2\right)+\left(-2x^3+12x^2+6x\right)+\left(-3x^2+18x+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-6x-3\right)-2x\left(x^2-6x-3\right)-3\left(x^2-6x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-6x-3\right)\left(x^2-2x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x^2-6x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x+1=0\\x-3=0\\x^2-6x-3=0\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-1\\x=3\\x=3+2\sqrt{3}\\x=3-2\sqrt{3}\end{array}\right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình : \(S=\left\{-1;3-2\sqrt{3};3;3+2\sqrt{3}\right\}\)

a) Ta thấy x = 1 là nghiệm của \(f\left(x\right)=3x^3-x^2+2x-4\) nên \(f\left(x\right)\) sẽ có dạng \(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(ax^2+bx+c\right)\)

Bằng cách chia f(x) cho x - 1 được các hệ số tương ứng : a = 3 , b = 2 , c =4

=> f(x) = (x-1)(3x²+2x+4)

b) Tương tự, ta cũng phân tích được : x³-100x²+50x+49=(x-1)(x²-99x-49)

\(\left(\frac{1}{2}m-3\right)\left(\frac{1}{3}m+3\right)=\frac{1}{6}m^2+\frac{3}{2}m-m-9=\frac{1}{6}m^2+\frac{1}{2}m-9\)

Tử số a là: 18:(7-5)*5=45

Mẫu số b là:45+18=63

Phân số \(\frac{a}{b}\)là \(\frac{45}{63}\)

gọi số hs 4 khối lần lượt là: x,y,z,t

theo  đề bài, ta có:

\(\frac{x}{9}=\frac{y}{8}=\frac{z}{7}=\frac{t}{6}\) và  y - t = 70

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, có:

\(\frac{x}{9}=\frac{y}{8}=\frac{z}{7}=\frac{t}{6}=\frac{y-t}{8-6}=\frac{70}{2}=35\)

\(\frac{x}{9}=35=>x=35\cdot9=315\)

\(\frac{y}{8}=35=>y=35\cdot8=280\)

\(\frac{z}{7}=35=>z=35\cdot7=245\)

\(\frac{t}{6}=35=>t=35\cdot6=210\)

vậy số hs của 4 khối lần lượt là:  315 hs, 280 hs,  245 hs, 210 hs

A= (-3a+5b-4c)-(-2a-3b-3c) = -3a+5b-4c+2a+3b+3c = (-3a+2a) + (5b+3b) + (-4c+3c) = -a+8b-c 

Đề bài của bạn sai nhé , phải là \(\left(n^2-1\right)⋮8\)

Giải như sau : Vì n là số tự nhiên lẻ nên \(n=2k+1\left(k\in N^{\text{*}}\right)\)

\(\Rightarrow n^2-1=\left(2k+1\right)^2-1=2k\left(2k+2\right)=4k\left(k+1\right)\)

Vì k(k+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 => 4k(k+1) chia hết cho 4.2 = 8 hay \(n^2-1\) luôn chia hết cho 8 vói mọi n lẻ