Cho nửa đường tròn (O; R); đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn, M là một điểm thuộc nửa đường tròn (O; R), (M ≠ A, B). Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C, D.
1) Chứng minh: 4 điểm O, M, D, B cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh: CD = AC + DB; AC.DB = R2.
3) Gọi AM cắt OC tại N; BM cắt OD tại P. Xác định dạng tứ giác MNOP.
4) Chứng minh: AB là tiếp tuyến đường tròn đường kính CD.
5) Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn (O; R) để (AC + DB)min.
6) Khi M chuyển động trên nửa đường tròn (O; R), (M ≠ A; B) thì trung điểm I của NP chuyển động trên đường nào?
7) Kẻ MH ⊥ AB tại H, CB cắt MH tại K. Chứng minh: K trung điểm của MH.