Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2=3\left(2m+3\right)-2mx=0\Leftrightarrow x^2+2mx-3\left(2m+3\right)=0\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dấu .

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\3\left(2m+3\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+3\right)^2>0\\6m+9>0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m< -\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m\ne3,m< -\dfrac{3}{2}\) là giá trị m cần tìm.

a.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(P\) là:

\(x^2-mx-2=0\)

\(\Delta=m^2+8>0\forall m\) \(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\)

b. Theo vi ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Theo đề: \(\sqrt{-x_1}=\sqrt{2x_2}\)

\(\Leftrightarrow\left|-x_1\right|=\left|2x_2\right|\)

\(TH_1:\) \(-x_1=2x_2\)

\(\Leftrightarrow x_1=-2x_2\)

Khi đó: \(x_1+x_2=-2x_2+x_2=-x_2=m\)

\(\Rightarrow x_1=2m\)

\(\Rightarrow x_1x_2=2m.\left(-m\right)=-2\Rightarrow m^2=1\Rightarrow m=\pm1\)

\(TH_2:\) \(-x_1=-2x_2\)

\(\Leftrightarrow x_1=2x_2\)

Khi đó: \(x_1+x_2=2x_2+x_2=3x_2=m\)

\(\Rightarrow x_2=\dfrac{m}{3}\Rightarrow x_1=\dfrac{2m}{3}\)

\(\Rightarrow x_1x_2=\dfrac{m}{3}.\dfrac{2m}{3}=-2\) (vô lý)

Vậy m = 1 hoặc m = - 1 là giá trị m cần tìm.

Em tự vẽ đồ thị nhé!

b. Phương trình đường thẳng OA có dạng: \(y=ax\)

Thay tọa độ của A, ta được \(a=1\)

Do \(d//OA\) nên phương trình của \(d\) có dạng: \(y=x+b\)

\(d\) đi qua B nên \(0=2+b\Rightarrow b=-2\)

Suy ra phương trình của \(d\) là: \(y=x-2\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left(P\right)\) là:

\(-x^2=x-2\Leftrightarrow x^2+x-2=0\left(1\right)\)

Vì a + b + c = 0 nên (1) có hai nghiệm phân biệt \(x=x_C=1,x=x_D=-2\)

\(\Rightarrow y_C=-1,y_D=-4\)

Ta có: \(x_A=x_C\Rightarrow AC\perp Ox\)

Do đó: \(S_{ACD}=\dfrac{1}{2}\left|x_C-x_D\right|.\left|y_A-y_C\right|=\dfrac{1}{2}\left(x_C-x_D\right)\left(y_A-y_C\right)=3\left(cm^2\right)\)

Sửa câu (c):

Có: \(\dfrac{P}{Q}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-2}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\left(x+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\sqrt{x}}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}}\) \(\ge\dfrac{2\sqrt{x.3}}{\sqrt{x}}=2\sqrt{3}\) (Áp dụng BĐT AM - GM)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy x = 3 là giá trị cần tìm, khi đó GTNN của \(\dfrac{P}{Q}=2\sqrt{3}\)

Em tự vẽ hình nhé!, bổ sung câu (c):

Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE có:

\(\widehat{CFD}=\widehat{CED}\left(1\right)\) (góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

Mặt khác trong đường tròn (O):

\(\widehat{CED}=\widehat{CBA}\left(2\right)\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Mà tam giác OCB cân tại O.

\(\Rightarrow\widehat{CBA}=\widehat{OCB}\left(3\right)\)

Từ (1), (2), (3) suy ra: \(\widehat{CFD}=\widehat{OCB}\left(4\right)\) (đpcm).

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE.

=> I là trung điểm của FD.

Ta có: \(\widehat{CFD}=\widehat{FCI}\) (do tam giác FIC cân tại I).

Mà \(\widehat{FCI}+\widehat{ICD}=\widehat{FCD}=90^o\) (FD là đường kính)

\(\Rightarrow\widehat{CFD}+\widehat{ICD}=90^o\)

Từ (4) suy ra: \(\widehat{OCB}+\widehat{ICD}=90^o\)

\(\Rightarrow IC\perp OC\) hay IC là tiếp tuyến của đường tròn (O). (đpcm)

b. m = 55 kg ,   \(d=11000N/m^3\)

\(V_0=5.10^{-3}m^3\)  , \(V_{nổi}=8.10^{-3}m^3\)

Người nổi nên ta có:

\(m.g+V_{nổi}.d=V_0.d_0.N\) (N là số bình nhựa)

\(\Rightarrow N=\dfrac{m.g+V_{nổi}.d}{d_0.V_0}=12,76\)

Vậy phao phải được tạo bởi 13 chiếc bình nhựa cột lại.

c. Theo đề: áp suất tăng 2,5 lần

Ta có: \(P_0.h=P.h'\)

\(\Rightarrow\dfrac{P_0}{P}=\dfrac{h'}{h}=\dfrac{1}{2,5}\)

\(\Rightarrow h'=\dfrac{h}{2,5}=0,4h\)

Vậy người đó lặn xuống độ sâu là 0,4 m.

Điều kiện: \(x\ge0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x-2\right)=7\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4x-8=7\sqrt{x}+7\)

\(\Leftrightarrow4x-15=7\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(4x-15\right)^2=\left(7\sqrt{x}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow16x^2-169x+225=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=9\\x_2=\dfrac{25}{16}\end{matrix}\right.\) (nhận).

Thử lại nghiệm của bài toán, ta nhận giá trị x = 9.

Vậy giá trị cần tìm của x là 9.

Xét tứ giác SOAB có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{SAO}=90^o\\\widehat{SBO}=90^o\end{matrix}\right.\)

=> Tứ giác SOAB nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180^o).

=> 4 điểm S, A, O, B cùng thuộc 1 đường tròn.

\(\Delta=25-24=1>0\)

\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)

Theo vi ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=6\end{matrix}\right.\)

Theo đề có: \(P=x_1^3+x_2^3-\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\left(x_1,x_2\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=5^3-3.6.5-\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=35-\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\)

Tính: \(\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=5+2\sqrt{6}=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\) (thõa mãn \(x_1,x_2\ge0\))

Khi đó: \(P=35-\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

Vậy giá trị của biểu thức P là \(35-\sqrt{3}-\sqrt{2}\)