a) 

\(P=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{8\sqrt{x}}{x-4}\\ =\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{8\sqrt{x}}{x-4}\\ =\dfrac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\dfrac{8\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{3x-6\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}+8\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{2x}{x-4}\)

b) Ta có:

`P=(2x)/(x-4)=(2x-8+8)/(x-4)=(2(x-4)+8)/(x-4)`

`=2+8/(x-4)`

Để P nguyên thì: `8/(x-4)` nguyên

`=>8` chia hết cho `x-4`

`=>x-4∈Ư8)={1;-1;2;-2;4;-4;8;-8}`

`=>x∈{5;3;6;2;8;0;12;-4}`

 1) Khi `m=2` ta có pt:

`x^2-2*(2+1)x+3*2-3=0`

`<=>x^2-6x+3=0`

`Δ=(-6)^2-4*1*3=24`

\(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{6+\sqrt{24}}{2}=3+\sqrt{6}\\x_2=\dfrac{6-\sqrt{24}}{2}=3-\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)

2) `Δ=[-2(m+1)]^2-4*1*(3m-3)`

`=4(m^2+2m+1)-12m+12`

`=4m^2+8m+4-12m+12=4m^2-4m+16=(2m-1)^2+15>0` với mọi m nên luôn có 2 nghiệm pb 

Theo Vi-ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=3m-3\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{x_1-1}+\sqrt{x_2-1}=4\\ \Leftrightarrow x_1+x_2-2+2\sqrt{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=16\\ \Leftrightarrow x_1+x_2-2+2\sqrt{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}\\ \Rightarrow2\left(m+1\right)-2+2\sqrt{3m-3-2\left(m+1\right)+1}=16\\ \Leftrightarrow2m+2-2+2\sqrt{3m-3-2m-2+1}=16\\ \Leftrightarrow2m+2\sqrt{m-4}=16\\ \Leftrightarrow m+\sqrt{m-4}=8\\ \Leftrightarrow\sqrt{m-4}=8-m\left(4\le m\le8\right)\\ \Leftrightarrow m-4=m^2-16m+64\\ \Leftrightarrow m^2-17m+68=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{17+\sqrt{17}}{2}\left(ktm\right)\\m=\dfrac{17-\sqrt{17}}{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: ...

`A=1/2+1/6+1/12+...+1/110`

`A=1/(1 xx 2)+1/(2 xx 3)+1/(3 xx 4)+...+1/(10 xx 11)`

`A=(2-1)/(1 xx 2)+(3-2)/(2 xx 3)+(4-3)/(3 xx 4)+...+(11-10)/(10 xx 11)`

`A=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/10-1/11`

`A=1-1/11`

`A=10/11` 

Tổng và tử của kết quả là: 

`10+11=21` 

Chọn D

Ta có:

`3+3^2+3^3+...+3^2023`

Số lượng số hạng: `(2023-1):1+1=2023`

`2023:3=674` (dư 1) 

`3+(3^2+3^3+3^4)+...+(3^2021+3^2022+3^2023)`

`=3+3^2*(1+3+3^2)+...+3^2021*(1+3+3^2)`

`=3+3^2*13+...+3^2021*13`

`=3+13*(3^2+...+3^2021)` không chia hết cho 3

`y=-4x-3`

`(a_1=-4;b_1=-3)`

`y=6-4x`

`(a_2=-4;b_2=6)`

`y=-x-2`

`(a_3=-1;b_3=-2)`

Vì: `a_1=a_2` và `b_1` khác `b_2` nên `y=-4x-3` song song với `y=6-4x`

Vì: `a_1` khác `a_3` nên `y=-4x-3` cắt với `y=-x-2`

Vì: `a_2` khác `a_2` nên `y=6-4x` cắt `y=-x-2`

Ta có hàm số: `y=2x-8` 

Với `y=6` ta có:

`6=2x-8`

`<=>2x=6+8`

`<=>2x=14`

`<=>x=14:2`

`<=>x=7`

Vậy: `x=7`

Số m gấp đôi số n và cộng thêm 10:

`m=2 xx n+10`

Số p là trung bình cộng của m và số n cộng thêm 5:

`p=(m+n):2+5=(2 xx n+10+n):2+5=(3 xx n+10):2+5`

Tổng ba số là 200 nên ta có:

`m+n+p=2 xx n+10+n+(3 xx n+10):2+5=200`

`2 xx n+15+n+3/2 xx n+5=200`

`n xx (2+3/2+1)+20=200`

`n xx 9/2=180`

`n=180:9/2`

`n=40`

`m=2 xx n + 10 = 2 xx 40 + 10=90`

`p=(3 xx n + 10):2+5=(3 xx 40+10):2+5=70`

\(\overline{abcd}\) chia hết cho 29 

`=>1000a+100b+10c+d` chia hết cho 29 

`=>2(1000a+100b+10c+d)` chia hết cho 29

`=>2000a+200b+20c+2d` chia hết cho 29`

Ta có: `(2000a+200b+20c+2d)+(a+3b+9c+27d)`

`=2001a+203b+29c+29d`

`=29*(69a+7b+c+d)` chia hết cho 29 

Mà: `2000a+200b+20c+2d` chia hết cho 29

`=>a+3b+9c+27d` chia hết cho 29

Số x gấp 3 lần số y:

`x=3 xx y`

Số z bằng y cộng thêm 20:

`z=y+20` 

Tổng ba số là 150 nên:

`x+y+z=(3 xx y)+y+(y+20)=150`

`3 xx y + y + y + 20 = 150`

`y xx (3+1+1) = 150-20`

`y xx 5 = 130`

`y=130/5=26`

`x=3 xx y = 3 xx 26=78`

`z=y+20=26+20=46` 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

`x/7=y/11=(x+y)/(7+11)=40/18=20/9` 

Ta có:

`x/7=20/9=>x=7*20/9=140/9`

`y/11=20/9=>y=11*20/9=220/9`

Vậy `x=140/9;y=220/9`