Xét (O) có: \(\hat{ADB}=\hat{AEB}=90^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\implies BD\perp AQ;AE\perp BQ\)

Xét \(\Delta AQB\) có: \(\begin{cases}BD\perp AQ^{};AE\perp BQ\left(cmt\right)\\ BD\cap AE=\left\lbrace K\right\rbrace\left(gt\right)\end{cases}\)

\(\implies K\) là trực tâm của \(\Delta AQB\) (t/c) \(\implies QK\perp AB\) (1)

Xét \(\Delta OBD\) vuông cân tại O có: \(OK\perp BD\) tại K (gt)

\(\implies OK\) đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta OBD\)

\(\implies OK=\frac12BD=KD=KB\implies\Delta OKB\) vuông cân tại K

Mà I là trung điểm của OB nên \(KI\perp OB\)

hay \(KI\perp AB\) (2)

Từ (1) và (2) \(\implies Q,K,I\) thẳng hàng (đpcm)

\(\#Toru\)

Dòng cuối mình sửa lại nhé:

$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\frac{2023}{3}}=\frac{17\sqrt{21}}{3}$

Với các số thực dương a, b, c ta luôn có: $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=2023$ (1)

Thật vậy, (1) $\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2\ge 2ab+2bc+2ca$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge 0$

$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\ge 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$ (luôn đúng với mọi a,b,c dương)

Vậy, (1) được chứng minh 

Hay $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=2023$

Dấu "=" xảy ra khi: $\begin{cases} a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\\ab+bc+ca=2023 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a=b=c\\3a^2=2023\end{cases}$

$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\frac{2023}{3})=\frac{17\sqrt{21}}{3}$ (do a,b,c dương)

Vậy...

Tìm tất cả các số nguyên tố p, q thỏa mãn: $p^2-pq-q^3=1$

Có bao nhiêu bộ ba số nguyên $(a,b,c)$ sao cho với mọi số thực $x$ ta có: $x^2+2x-2023<ax^2+bx+c<2x^2$. Hãy giải thích tại sao?