Câu 18

\(A=1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2021}\)

\(\implies3A=3+3^2+3^3+3^4+\cdots+3^{2022}\)

\(\rArr2A=3A-A\)

\(=\left(3+3^2+3^3+3^4+\cdots+3^{2022}\right)-\left(1+3+3^2+3^3+\cdots+3^{2021}\right)\)

\(=3^{2022}-1\)

\(\rArr A=\frac{3^{2022}-1}{2}\)

\(\rArr B-A=\frac{3^{2022}}{2}-\frac{3^{2022}-1}{2}\)

\(=\frac{3^{2022}-3^{2022}+1}{2}\)

\(=\frac12\)

2(x - 3)(y + 2) = 10

(x - 3)(y + 2) = 10 : 2

(x - 3)(y + 2) = 5

*) TH1: x - 3 = -5; y + 2 = -1

+) x - 3 = -5

x = -5 + 3

x = -2

+) y + 2 = -1

y = -1 - 2

y = -3

*) TH2: x - 3 = -1; y + 3 = -5

+) x - 3 = -1

x = -1 + 3

x = 2

+) y + 3 = -5

y = -5 - 3

y = -8

*) TH3: x - 3 = 1; y + 2 = 5

+) x - 3 = 1

x = 1 + 3

x = 4

+) y + 2 = 5

y = 5 - 2

y = 3

*) TH4: x - 3 = 5; y + 2 = 1

+) x - 3 = 5

x = 5 + 3

x = 8

+) y + 2 = 1

y = 1 - 2

y = -1

Vậy ta có các cặp giá trị (x; y) thỏa mãn đề bài:

(-2; -3); (2; -8); (4; 3); (8; -1)

Diện tích xây nhà:

200 × 25 : 100 = 50 (m²)

Diện tích trồng cây:

200 - 50 = 150 (m²)

x - {x - [x - (x + 1)]} = 1

x - [x - (x - x - 1)] = 1

x - (x + 1) = 1

x - x - 1 = 1

0x = 1 + 1

0x = 2 (vô lý)

Vậy không tìm được x thỏa mãn đề bài

Ta có:

10³³ ⋮ 2

8 ⋮ 2

⇒ (10³³ + 8) ⋮ 2 (1)

10³³ + 8 = 1000...08 (32 chữ số 0)

Tổng các chữ số của 1000...08 là:

1 + 0 + 0 + ... + 8 = 9

Mà 9 ⋮ 9

⇒ (10³³ + 8) ⋮ 9 (2)

Và ƯCLN(2; 9) = 1 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ (10³³ + 8) ⋮ 2.9

⇒ (10³³ + 8) ⋮ 18

Câu 7

a) Tổng chiều dài và chiều rộng:

272 : 2 = 136 (m)

Tổng số phần bằng nhau:

5 + 3 = 8 (phần)

Chiều dài là:

136 : 8 × 5 = 85 (m)

Chiều rộng là:

136 - 85 = 51 (m)

Diện tích thửa ruộng:

85 × 51 = 4335 (m²)

b) Số thóc thu được:

4335 : 15 × 10 = 2880 (kg)

Câu 6

2,5 tạ = 250 kg

Số kg gạo nếp đã bán:

250 × 32 : 100 = 80 (kg)

Số kg gạo tẻ đã bán:

250 - 80 = 170 (kg)

e) Số số hạng của O:

2019 - 0 + 1 = 2020

Do 2020 ⋮ 4 nên ta có thể nhóm các số hạng của O thành từng nhóm mà mỗi nhóm có 4 số hạng như sau:

O = (1 + 3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) + ... + (3²⁰¹⁶ + 3²⁰¹⁷ + 3²⁰¹⁸ + 3²⁰¹⁹)

= 40 + 3⁴.(1 + 3 + 3² + 3³) + ... + 3²⁰¹⁶.(1 + 3 + 3² + 3³)

= 40 + 3⁴.40 + ... + 3²⁰¹⁶.40

= 40.(1 + 3⁴ + ... + 3²⁰¹⁶) ⋮ 40

Vậy P ⋮ 40

d) Sửa đề: P = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3²⁰¹⁸

Số số hạng của P:

2018 - 0 + 1 = 2019

Do 2019 ⋮ 3 nên ta có thể nhóm các số hạng của P thành từng nhóm mà mỗi nhóm có 3 số hạng như sau:

P = (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + (3²⁰¹⁶ +3²⁰¹⁷ + 3²⁰¹⁸)

= 13 + 3³.(1 + 3 + 3²) + ... + 3²⁰¹⁶.(1 + 3 + 3²)

= 13 + 3³.13 + ... + 3²⁰¹⁶.13

= 13.(1 + 3³ + ... + 3²⁰¹⁶) ⋮ 13

Vậy P ⋮ 13

c) A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4²⁰²⁵

4A = 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4²⁰²⁶

4A - A = 3A

= (4 + 4² + 4³ + 4⁴ + ... + 4²⁰²⁶) - (1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4²⁰²⁵)

= 4²⁰²⁶ - 1