cho tam giác ABC, trung tuyến AD, gọi G là trọng tâm ABC đường thẳng d đi qua G cắt AB, AC tại M và N. Qua B và C kẻ các đường thẳng song song với d cắt AD ở B' và C'. chứng minh rằng

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{AM}+\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{AN}=3$ VÀ $\genfrac{}{}{0ex}{}{BM}{AM}+\genfrac{}{}{0ex}{}{CN}{AN}=1$

cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH H thuộc BC M là 1 điểm thuộc AH qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt BC tại N. chứng minh BM vuông góc với AN

cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABM và ACN.c/m mn//bc

cho tam giác MNE vuông cân tại M. Trên đáy NE lấy 2 điểm A,B sao cho NB=EA=MN 
a, chứng minh Tam giác AMB cân
b, tính góc AMB

Ta có: \begin{aligned} (x-y)^2+(x^3+y^2)+7xy & = 49+(y^2-x^3)^2 \ \Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^3+y^2+7xy & = 49+y^4-2y^2x^3+x^6 \ \Leftrightarrow x^2+x^3+3xy+y^2 & = y^4+(x^3-3xy)^2+49 \end{aligned} Chú ý rằng $(x^3-3xy)^2\geqslant 0$ nên: \begin{aligned} y^4+(x^3-3xy)^2+49 & \geqslant 49 \ \Rightarrow x^3+x^2+3xy+y^2 & \geqslant 49 \end{aligned} Từ đó, ta có: A = xy = \dfrac{1}{2}[(x-y)^2+x^2+y^2]\leqslant \dfrac{1}{2}[2x^2+2y^2]=x^2+y^2 Do đó, ta có: $A\leqslant x^2+y^2\leqslant\dfrac{(x^3+x^2+3xy+y^2)+(y^4+(x^3-3xy)^2+49)}{2}=49$ Vậy $A\leqslant 49$ và $A=49$ đạt được khi và chỉ khi $(x, y)=(-3, -4)$ hoặc $(x, y)=(4, 3)$.