Bài 1: Tính đơn diệu và cực trị của hàm số

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1\} \)

\(g'(x) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = -3, \({y_{ct}} = f( - 3) =  - 5\), đạt cực đại tại x = 1, \({y_{cd}} = f(1) = 3\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số y = f (x) có:

x = 1 là điểm cực đại vì f (x) < f(1) với mọi \(x \in \left( {0;{\rm{  + }}\infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)

x = 0 là điểm cực tiểu vì f(x) > f(0) với mọi \(x \in \left( { + \infty ;{\rm{ 1}}} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)

b) Tại x = 1, hàm số không có đạo hàm vì đồ thị bị gấp khúc

c)

Nhận xét: Khi đi qua các điểm cực đại và cực tiểu thì y’ đổi dấu

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(y = 2{x^3} + 3{x^2}--36x + 1\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(y' = 6{x^2} + 6x - 36\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -3, \({y_{cd}} = f( - 3) = 82\), đạt cực tiểu tại x = 2, \({y_{ct}} = f(2) =  - 43\)

b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \)

\(y' = \frac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{(x - 2)}^2}}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}({x^2} - 4x + 6) > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \\{(x - 2)^2} > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \end{array} \right.\) nên \(y' > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số không có điểm cực trị

c) \(y = \sqrt { - {x^2} + 4} \)

Tập xác định: \(D = \left( { - 2;2} \right)\)

\(y' = \frac{{ - x}}{{\sqrt { - {x^2} + 4} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, \({y_{cd}} = f(0) = 2\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D = [0;2000]\)

\(h'(x) =  - \frac{1}{{440000}}{x^2} + \frac{9}{{1760}}x - \frac{{81}}{{44}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1800\\x = 450\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Vậy trên đoạn [0; 2000]:

Tọa độ đỉnh cực tiểu của dãy núi là (450; 460,3125)

Tọa độ đỉnh cực đại của dãy núi là (1800; 1392,27)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có $y^{\prime}=12 x^2+6 x-36 ; y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 12 x^2+6 x-36=0 \Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=\frac{3}{2}$.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $\left(\frac{3}{2} ;+\infty\right)$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-2 ; \frac{3}{2}\right)$
Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ và $\mathrm{y}_{\mathrm{CĐ}}=58$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{3}{2}$ và $y_{C T}=-\frac{111}{4}$
b) Tập xác định: $\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\{4\}$.

Có $y^{\prime}=\frac{(2 x-2)(x-4)-\left(x^2-2 x-7\right)}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8 x+15}{(x-4)^2}$
Có $y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x^2-8 x+15=0 \Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=5$.
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ; 3)$ và $(5 ;+\infty)$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(3 ; 4)$ và $(4 ; 5)$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=3$ và $\mathrm{y}_{\mathrm{CD}}=4$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=5$ và $\mathrm{y}_{\mathrm{CT}}=8$.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \)

\(y' = \frac{{ - 7}}{{{{(x - 3)}^2}}}\)

Ta có: \({(x - 3)^2} > 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \) nên \(y' < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \)

Vậy hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \{ 3\} \)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(v(t) = x'(t) = 3{t^2} - 12t + 9\)

\(a(t) = v'(t) = 6t - 12\)

b) Tập xác định: \(D = [0; + \infty ]\)

\(a(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\)

Bảng biến thiên:

Vậy trong khoảng từ t = 0 đến t = 2 thì vận tốc của chất điểm giảm, từ t = 2 trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

f’(x) > 0 trên các khoảng (-1;2) và (4;5) nên f’(x) đồng biến trên các khoảng (-1;2) và (4;5).

f’(x) < 0 trên các khoảng (-2;-1) và (2;4) nên f’(x) nghịch biến trên các khoảng (-2;-1) và (2;4).

Ta có:

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)

Vậy f(x) đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 4 do f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = -1 và x = 4, đạt cực đại tại x = 2 do f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x = 2.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(y' = f'(x) = 0,03{x^2} - 0,08x + 0,25\).

b) Tập xác định: \(D = [0;7]\).

Ta có: \(y' = f'(x) > 0\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(y = f(x)\) luôn đồng biến \(\forall x \in [0;7]\).

Hàm f(x) đồng biến trên [0;7] nên giá trị của f(x) tăng dần trên [0;7].

Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) và (4;5), nghịch biến trên khoảng (-1;0) và (2;4)

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, \({y_{cd}} = f(2) = 2\), đạt cực tiểu tại x = 0, \({y_{ct}} = f(0) =  - 1\) và x = 4, \({y_{ct}} = f(4) =  - 1\)

b) Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;-1) và (1;3), nghịch biến trên khoảng (-1;1)

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, \({y_{cd}} = f( - 1) = 3\), đạt cực tiểu tại x = 1, \({y_{ct}} = f(1) =  - 1\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)