Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bài 2:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)

Trước hết ta chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{a\left(b+c\right)}}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\). Ta lại có:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)

Thiết lập các BĐT tương tự:

\(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c};\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge2\)

Dấu "=" không xảy ra nên ta có ĐPCM

Lưu ý: lần sau đăng từng bài 1 thôi nhé !

1) Áp dụng liên tiếp bđt \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) với a;b là 2 số dương ta có:

\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{4}\)\(\le\dfrac{\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{16}\)

TT: \(\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}}{16}\)

\(\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{16}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)=1\left(đpcm\right)\)

Ai lm dc bai 3 chua

DKXD \(x\ge1;y\ge2;z\ge3\)

\(Pt\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}+2\sqrt{y-2}+2\sqrt{z-3}=x+y+z-3\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1-2\sqrt{x-1}+1\right)+\left(y-2-2\sqrt{y-2}+1\right)+\left(z-3-2\sqrt{z-3}+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-2}=1\\\sqrt{z-3}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\\z=4\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(a\ne b;b\ne c\)

Áp dụng BĐt cauchy: (a>b>c => a-b;b-c>0)

\(\dfrac{2a^2}{a-b}+2\left(a-b\right)\ge2\sqrt{4a^2}=4a\)

\(\dfrac{b^2}{b-c}+b-c\ge2b\)

cộng theo vế: \(\dfrac{2a^2}{a-b}+\dfrac{b^2}{b-c}+2a-2b+b-c\ge4a+2b\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2}{a-b}+\dfrac{b^2}{b-c}\ge2a+3b+c\)

dấu = xảy ra khi a=b=c=0 , điều này trái với ĐKXĐ nên dấu = không xảy ra

cái này tương tự này, do dài quá nên ngại làm, bn tham khảo nhé Câu hỏi của Thiên An - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Thôi đang rảnh, giúp bạn bài này luôn vậy!!

Giải:

Ta có:

\(VT=\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)+\left(\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}+\dfrac{a^2}{a+b}\right)=A+B\)

\(A+3=\dfrac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left[\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right]\)

\(\ge\dfrac{1}{2}3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a+b}\dfrac{1}{b+c}\dfrac{1}{c+a}}=\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\)

\(1^2=\left(a+b+c\right)^2\le\left(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)

\(\Leftrightarrow1\le B.2\Leftrightarrow B\ge\dfrac{1}{2}\)

Từ đó ta có: \(VT\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2=VP\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{a+b^2}{b+c}+\dfrac{b+c^2}{c+a}+\dfrac{c+a^2}{a+b}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a\left(a+b+c\right)+b^2}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)+c^2}{c+a}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)+a^2}{a+b}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+ab+ac+b^2}{b+c}+\dfrac{ab+b^2+bc+c^2}{c+a}+\dfrac{ca+bc+c^2+a^2}{a+b}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\dfrac{b^2+c^2+b\left(c+a\right)}{c+a}+\dfrac{c^2+a^2+c\left(a+b\right)}{a+b}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{b+c}+\dfrac{b^2+c^2}{c+a}+\dfrac{c^2+a^2}{a+b}+1\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{b+c}+\dfrac{b^2+c^2}{c+a}+\dfrac{c^2+a^2}{a+b}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Mincopski

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\sqrt{2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2\ge2\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2}\ge1\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{\left(b^2+c^2\right)^2}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{\left(c^2+a^2\right)^2}}{a+b}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b^2}{b+c}+\dfrac{b+c^2}{c+a}+\dfrac{c+a^2}{a+b}\ge2\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Giải:

Ta có:

\(P=\dfrac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}\)

\(\Leftrightarrow P+3=\dfrac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+b^2+\dfrac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+c^2\dfrac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}+a^2\)

\(\Leftrightarrow P+\dfrac{6}{4\sqrt{2}}=\dfrac{a^3}{2\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{a^2}{2\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1+b^2}{4\sqrt{2}}+\dfrac{b^3}{2\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{b^2}{2\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{1+c^2}{4\sqrt{2}}+\dfrac{c^3}{2\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{c^2}{2\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1+a^2}{4\sqrt{2}}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^6}{16\sqrt{2}}}+3\sqrt[3]{\dfrac{b^6}{16\sqrt{2}}}+3\sqrt[3]{\dfrac{c^6}{16\sqrt{2}}}\)

\(\Rightarrow P+\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\ge\dfrac{3}{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{9}{2\sqrt[6]{8}}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{9}{2\sqrt[6]{2^3}}-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{9}{2\sqrt{2}}-\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Áp dụng BĐt cauchy-schwarz:(dạng phân thức + đa thức )

\(P=\dfrac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{a^4}{a\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{b^4}{b\sqrt{1+c^2}}+\dfrac{c^4}{c\sqrt{1+a^2}}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\sqrt{1+b^2}+b\sqrt{1+c^2}+c\sqrt{1+a^2}}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(3+a^2+b^2+c^2\right)}}=\dfrac{9}{\sqrt{18}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

dấu = xảy ra khi a=b=c=1

\(x_1=3x_2\)nha mk viết lộn <3

Để phương trình đã cho có nghiệm buộc \(\Delta'=b'^2-ac=9-2m-14\ge0\)

\(\Leftrightarrow-5-2m\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le-\dfrac{5}{2}\)

Do đó với \(m\le-\dfrac{5}{2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm

Theo hệ thức Vi-et ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=3\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m+7}{2}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Giải hpt \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2x_2=0\\x_1+x_2=3\end{matrix}\right.\) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=2;x_2=1\) vào biểu thức (1) ta được

\(2=\dfrac{m+7}{2}\)

\(\Leftrightarrow m=-3\)(tmđk)

Vậy với m = -3 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Theo hệ thức Vi-et

Ta có x1=1

=>a+b+c=0

=> x2=c/a=m^2-3m+3

Thay x=1 vào pt ta có

\(1^2-2\left(m+1\right)\cdot1+m^2-3m+3=0\)

\(\Leftrightarrow1-2m-2+m^2-3m+3=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-5m+2=0\)

\(\Delta_m=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot2=25-8=17\)

Vì \(\Delta>0\) nên pt có 2 nghiệm phân biệt

\(m_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\)

\(m_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\)

Vì pt trên có nghiệm theo Vi-ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1\cdot x_2=m^2-3m+3\end{matrix}\right.\)

Với m=\(\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\) ta có:

\(x_2=2\left(\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}+1\right)-1=6+\sqrt{17}\)

Với m=\(\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\) ta có:

\(x_2=2\left(\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}+1\right)-1=6-\sqrt{17}\)

Vậy.......................................

mk cũng đag cần 1 số đề ôn thi nha! có j cho mk đề với nha! mk lớp 9 và sang năm mk cx thi lên lớp 10 nên mong các bạn giúp đỡ mk nhìu !! <3