Bài 6: Ôn tập chương Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.

Trong ΔSAB có:

+) P là trung điểm SA

+) M là trung điểm AB

=> PM là đường trung bình của ΔSAB

=> PM // SB

mặt khác: PM⊂ (MNP)

=> SB // (MNP)

Bài kiểm tra:

1A, 2C, 3b, 4C, 5A, 6B, 7D, 8C, 9B, 10A, 11A (câu này chọn sai, có 1 mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, bị người ta lừa, đề không có yếu tố "không thẳng hàng" nên có thể là 3 điểm thẳng hàng, khi đó có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm này), 12C, 13D, 14A, 15B (câu này cũng sai), 16D, 17B, 18A, 19D, 20A

Tự luận:

1.

\(2cos^2x-3cosx-2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=-\dfrac{1}{2}\\cosx=2>1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\)

2.

a. Nãy làm rồi, nói cụ thể hơn:

Trong 8 viên có 2 viên xanh:

- Chọn 2 viên xanh trong 8 viên xanh: \(C_8^2\) cách

- Chọn 6 viên bất kì từ 9 viên gồm vàng và đỏ: \(C_9^6\)

Số cách thỏa mãn: \(C_8^2.C_9^6\)

Xác suất: \(P=\dfrac{C_8^2.C_9^6}{C_{17}^8}\)

b.

Số hạng tổng quát của khai triển \(\left(2-3x\right)^{20}\) có dạng:

\(C_{20}^k.2^k.\left(-3x\right)^{20-k}=C_{20}^k.2^k.\left(-3\right)^{20-k}.x^{20-k}\)

Số hạng chứa \(x^9\) thỏa mãn:

\(20-k=9\Rightarrow k=11\)

Vậy hệ số số hạng đó là: \(C_{20}^{11}.2^{11}.\left(-3\right)^9=...\)

3.

Ta có: M là trung điểm AB, P là trung điểm SA

\(\Rightarrow MP\) là đường trung bình tam giác SAB 

\(\Rightarrow MP//SB\)

Mà \(MP\in\left(MNP\right)\Rightarrow SB//\left(MNP\right)\)

b.

Gọi Q là trung điểm BC \(\Rightarrow NQ\) là đường trung bình tam giác SBC

\(\Rightarrow NQ//SB\Rightarrow NQ//MP\Rightarrow Q\in\left(MNP\right)\)

Trong mp (ABCD), nối PM kéo dài cắt AD tại E

Trong mp (SAD), nối EP kéo dài cắt SD tại F

\(\Rightarrow F\in\left(MNP\right)\)

Vậy ngũ giác MPFNQ là thiết diện của (MNP) và chóp

1.

Để ý rằng \(\dfrac{36}{4}=9\) nên 4 đỉnh tạo thành hình vuông khi chúng lần lượt cách nhau 9 đỉnh

Do đó ta có các bộ (1;10;19;28), (2;11;20;29),... (9; 18; 27, 36), tổng cộng 9 bộ hay 9 hình vuông

Xác suất: \(P=\dfrac{9}{C_{36}^4}=...\)

2.

Trong mp (ABCD), nối BM kéo dài cắt AD tại E

\(\Rightarrow SE=\left(SAD\right)\cap\left(SBM\right)\)

b. Gọi N là trung điểm SC \(\Rightarrow\dfrac{DG}{DN}=\dfrac{2}{3}\) (t/c trọng tâm)

Do \(AD||BC\) , áp dụng Talet:

\(\dfrac{IB}{ID}=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{IB}{ID}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{ID}{BD}=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DG}{DN}=\dfrac{ID}{IB}\Rightarrow IG||BN\Rightarrow IG||\left(SBC\right)\)

c. Trong mp (SAD), nối QE cắt SD tại P

Talet: \(\dfrac{BC}{DE}=\dfrac{MC}{MD}=1\Rightarrow BC=DE\Rightarrow DE=\dfrac{1}{3}AE\)

Áp dụng Menelaus cho tam giác SAE:

\(\dfrac{QS}{QA}.\dfrac{AE}{ED}.\dfrac{DP}{PS}=1\) \(\Leftrightarrow1.3.\dfrac{DP}{PS}=1\Leftrightarrow SP=3DP\)

\(\Rightarrow\dfrac{SP}{SD}=\dfrac{3}{4}\)

3.

\(2sinx.cosx-4sinx+mcosx-2m=0\)

\(\Leftrightarrow2sinx\left(cosx-2\right)+m\left(cosx-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx+m\right)\left(cosx-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sinx=-\dfrac{m}{2}\)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

\(-1\le-\dfrac{m}{2}\le1\Leftrightarrow-2\le m\le2\)

4.

\(cot\dfrac{A}{2}+cot\dfrac{C}{2}=2cot\dfrac{B}{2}\Leftrightarrow\dfrac{cos\dfrac{A}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{cos\dfrac{C}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}=\dfrac{2cos\dfrac{B}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{cos\dfrac{A}{2}sin\dfrac{C}{2}+cos\dfrac{C}{2}sin\dfrac{A}{2}}{sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{C}{2}}=\dfrac{2cos\dfrac{B}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{sin\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}{sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{C}{2}}=\dfrac{2cos\dfrac{B}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}\Leftrightarrow\dfrac{cos\dfrac{B}{2}}{sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{C}{2}}=\dfrac{2cos\dfrac{B}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}\)

\(\Leftrightarrow sin\dfrac{B}{2}=2sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{C}{2}\)

\(\Leftrightarrow sin\dfrac{B}{2}=cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)-cos\left(\dfrac{A+C}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow sin\dfrac{B}{2}=cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)-sin\dfrac{B}{2}\)

\(\Leftrightarrow2sin\dfrac{B}{2}=cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)\Leftrightarrow2sin\dfrac{B}{2}cos\dfrac{B}{2}=cos\dfrac{B}{2}.cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow2sinB=cos\left(\dfrac{A+B-C}{2}\right)+cos\left(\dfrac{B+C-A}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow2sinB=sinC+sinA\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2b}{R}=\dfrac{c}{R}+\dfrac{a}{R}\Leftrightarrow2b=a+c\)

Bài làm:

a) Do BC//AD và AD\(\subset\) (SAD)

=> BC// (SAD)

b) có \(\dfrac{DE}{AE}=\dfrac{DN}{NS}=2\)

=> NE//SA

do BC//AD => \(\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{1}{2}\) => \(\dfrac{DE}{AE}=\dfrac{OD}{OB}=2\) => OE//AB

Do NE//SA và OE//AB mà OE,NE \(\subset\)(ONE); SA,SB\(\subset\) (SAB)

=> (ONE) //(SAB)