Bài 5: Ôn tập chương Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân.

Ta dễ dàng quy nạp dãy \(u_n\) là dãy dương

Từ đó: \(u_n-u_{n-1}=u_{n-1}^2+u_{n-1}>0\Rightarrow\) dãy tăng

\(u_n+1=\left(u_{n-1}+1\right)^2\)

Đặt \(u_n+1=v_n\Rightarrow v_1=u_1+1=2\)

\(v_n=v_{n-1}^2=v_{n-2}^{2^2}=v_{n-3}^{2^3}=...=v_1^{2^{n-1}}=2^{2^{n-1}}\)

\(\Rightarrow u_n=v_n-1=2^{2^{n-1}}-1\)

\(u_1=1>0\)

\(u_2=u_1^2+2u_1=3>0\)

Giả sử \(u_k>0\) , ta cần chứng minh \(u_{k+1}>0\)

Hiển nhiên có \(u_{k+1}=u_k^2+2u_k>0^2+2.0=0\)

Đề thế này thì không thể hiểu được.

Em sử dụng công cụ soạn thảo toán học để đăng lại đề nhé, nó ở đây:

Mũ thì bấm "^" là được

Còn kí hiêu tổ hợp kiểu \(C_n^k\) thì ở đây:

Sau đó chọn

Hoặc đơn giản hơn thì vào chỗ gõ công thức (biểu tượng tổng sigma nói ở trên), sau đó bấm C, rồi shift _, bấm tiếp mũi tên sang phải ở bàn phím, rồi shift ^, tiếp tục mũi tên sang phâir

S= 2ⁿC⁰_n + 2^n-2 C^n-2_n +2^n-4 C_n^n-4 +...+C_nⁿ

a.

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^8=C_8^0x^8+C_8^1x^7+...+C_8^7x+C_8^8\)

Thay \(x=2.3=6\) ta được:

\(\left(1+6\right)^8=C_8^0.2^83^8+C_8^12^73^7+...+C_8^8\)

\(\Rightarrow S=7^8\)

b.

Câu này quy luật tổng S không đúng (nó ko hợp lý ở số hạng cuối \(C_n^n\), số hạng cuối là \(C_n^n\) chỉ khi n là số chẵn, còn n là số lẻ thì số hạng cuối phải là \(2^1.C_n^{n-1}\))

Coi như n là số chẵn:

Do \(C_n^k=C_n^{n-k}\) nên ta có thể viết lại cho quy luật dễ nhìn hơn:

\(S=2^nC_n^0+2^{n-2}C_n^2+2^{n-4}C_n^4+...+C_n^n\)

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^n=C_n^0x^n+C_n^1x^{n-1}+C_n^2x^{n-2}+...+C_n^{n-2}x^2+C_n^{n-1}x+C_n^n\) (1)

Xét khai triển

\(\left(1-x\right)^n=C_n^0.\left(-x\right)^n+C_n^1\left(-x\right)^{n-1}+C_n^2.\left(-x\right)^{n-2}+...+C_n^{n-2}\left(-x\right)^2+C_n^{n-1}\left(-x\right)+C_n^n\)

Do n chẵn 

\(\Rightarrow\left(1-x\right)^n=C_n^0x^n-C_n^1x^{n-1}+C_n^{n-2}x^{n-2}+...+C_n^n\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(\Rightarrow\left(1+x\right)^n+\left(1-x\right)^n=2\left[C_n^0x^n+C_n^2x^{n-2}+...+C_n^n\right]\)

\(\Rightarrow C_n^0x^n+C_n^2x^{n-2}+...+C_n^n=\dfrac{\left(1+x\right)^n+\left(1-x\right)^n}{2}\)

Thay \(x=2\)

\(\Rightarrow C_n^0.2^n+C_n^22^{n-2}+...+C_n^n=\dfrac{3^n+1}{2}\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{3^n+1}{2}\)

Không gian mẫu: \(C_{11}^5=462\)

Số cách lấy ra 2 bút đỏ, 3 bút xanh: \(C_3^2.C_8^3=168\)

Xác suất: \(P=\dfrac{168}{462}=\dfrac{4}{11}\)

Đề bài sai, không thể tính \(u_1\) (sẽ có vô số giá trị \(u_1\) thỏa mãn)

a.

Do O là tâm hbh \(\Rightarrow\) O là trung điểm AC

\(\Rightarrow OJ\) là đường trung bình tam giác SAC

\(\Rightarrow OJ||SA\)

Mà \(SA\in\left(SAC\right)\Rightarrow OJ||\left(SAC\right)\)

\(SA\in\left(SAB\right)\Rightarrow OJ||\left(SAB\right)\)

b. O là trung điểm BD, I là trung điểm BC

\(\Rightarrow OI\) là đườngt rung bình tam giác BCD

\(\Rightarrow OI||CD\)

Mà \(CD\in\left(SCD\right)\Rightarrow OI||\left(SCD\right)\)

Tương tự ta có IJ là đường trung bình tam giác SBC \(\Rightarrow IJ||SB\Rightarrow IJ||\left(SBD\right)\)

c. Ta có I là trung điểm BC, O là trung điểm AC

\(\Rightarrow M\) là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow BM=\dfrac{2}{3}BO=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{3}BD\) 

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{BD}=\dfrac{1}{3}\)

Theo giả thiết \(SK=\dfrac{1}{2}KD=\dfrac{1}{2}\left(SD-SK\right)\Rightarrow SK=\dfrac{1}{3}SD\)

\(\Rightarrow\dfrac{SK}{SD}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{BM}{BD}\Rightarrow KM||SB\) (Talet đảo)

\(\Rightarrow MK||\left(SBC\right)\)

mình ko bt làm

Câu b đề bài thiếu, tìm giao tuyến của mặt nào và (ABD) vậy em?

Yêu cầu đề?

Ta sẽ chứng minh dãy này giảm theo quy nạp.

Với n = 1 ta có u₁ = -1

Với n = 2 ta có u₂ = -5

=> u₁ > u₂

Giả sử dãy trên đúng với u_k > u_k+1 tức 2k - 3^k > 2(k + 1) - 3^{k + 1} <=> 2k - 2(k + 1) > 3^k - 3^k+1

Ta cần chứng minh dãy cũng đúng với u_k+1 > u_k+2

Hay 2(k + 1) - 3^k+1 > 2(k + 2) - 3^k+2

<=> 2k - 3.3^k > 2(k + 1) - 3.3^k+1

<=> 2k - 2(k + 1) > 3.(3^k - 3^k+1)

Thật vậy: Với k nguyên dương ta luôn có 3^k - 3^k+1 < 0 và 3 > 1 nên 3(3^k - 3^k+1) < 3^k - 3^k+1

Lại có 2k - 2(k + 1) > 3^k - 3^k+1 => 2k - 2(k + 1) > 3.(3^k - 3^k+1) (đpcm)

Vậy dãy u_n trên là dãy giảm

\(u_{n+1}=\dfrac{n\left(u_n+2\right)+n^2+1}{n+1}\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}=nu_n+n^2+2n+1\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)u_{n+1}-\dfrac{1}{3}\left(n+1\right)^3-\dfrac{1}{2}\left(n+1\right)^2-\dfrac{1}{6}\left(n+1\right)=n.u_n-\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\)

Đặt \(v_n=u.u_n-\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=0\\v_{n+1}=v_n=...=v_1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n.u_n-\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{6}n=0\)

\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{3}n^2+\dfrac{1}{2}n+\dfrac{1}{6}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)