Question

Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n) có số hạng tổng quát u_n = 2n - 3ⁿ 

Answer 1

Ta sẽ chứng minh dãy này giảm theo quy nạp.

Với n = 1 ta có u₁ = -1

Với n = 2 ta có u₂ = -5

=> u₁ > u₂

Giả sử dãy trên đúng với u_k > u_k+1 tức 2k - 3^k > 2(k + 1) - 3^{k + 1} <=> 2k - 2(k + 1) > 3^k - 3^k+1

Ta cần chứng minh dãy cũng đúng với u_k+1 > u_k+2

Hay 2(k + 1) - 3^k+1 > 2(k + 2) - 3^k+2

<=> 2k - 3.3^k > 2(k + 1) - 3.3^k+1

<=> 2k - 2(k + 1) > 3.(3^k - 3^k+1)

Thật vậy: Với k nguyên dương ta luôn có 3^k - 3^k+1 < 0 và 3 > 1 nên 3(3^k - 3^k+1) < 3^k - 3^k+1

Lại có 2k - 2(k + 1) > 3^k - 3^k+1 => 2k - 2(k + 1) > 3.(3^k - 3^k+1) (đpcm)

Vậy dãy u_n trên là dãy giảm