Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Áp dụng công thức \(\left(\sqrt[n]{u}\right)'=\frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}\) :

\(y'=\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{3\sqrt[3]{\left(x+\sqrt{x}\right)^2}}=\frac{2\sqrt{x}+1}{6\sqrt{x}\sqrt[3]{\left(x+\sqrt{x}\right)^2}}\)

\(y=\sqrt[3]{x+\sqrt{x}}\)

chia đều cho hai bên

\(\Leftrightarrow y^3=x+x^{\dfrac{1}{2}}\)

đạo hàm cấp 1{hai vế}

\(3y^2=1+\dfrac{1}{2}x^{\left(1-\dfrac{1}{2}\right)}=1+\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{2x^2+1}{2x^2}\)

Thay y=\(\sqrt[3]{x+\sqrt{x}}\) vào VT

\(\Leftrightarrow y'=\dfrac{\left(2x^2+1\right)}{2x^2.3.\sqrt[3]{\left(x+\sqrt{x}\right)^2}}=\dfrac{\left(2x^2+1\right)}{6.x^2.\sqrt[3]{\left(x+\sqrt{x}\right)^2}}\\ \)

Liệu có sai; --> sai ở đâu

\(y'=\left(2x-2\right)e^x+\left(x^2-2x+2\right)e^x=x^2e^x\)

\(y'=\frac{\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}=\frac{4}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}\)

\(y=\left(2x-1\right)^{x+1}\Rightarrow\ln y=\ln\left(2x-1\right)^{x+1}=\left(x+1\right)\ln\left(2x-1\right)\) (*)

                         \(\Rightarrow\frac{y'}{y}=\ln\left(2x-1\right)+\frac{2\left(x+1\right)}{2x-1}\) (đạo hàm 2 vế của (*)

                        \(\Rightarrow y'=\left[\ln\left(2x-1\right)+\frac{2\left(x+1\right)}{2x-1}\right]\left(2x-1\right)^{x+1}\)

Mình làm theo logic nhé: mới biết duy nhất một công thức: \(\left\{\begin{matrix}y=x^n\\y'=n.x^{n-1}\end{matrix}\right.\)

\(y=x+\dfrac{3}{x}=x+3.x^{-1}\Rightarrow y'=1+\left(-1\right).3.x^{\left(-1-1\right)}=1-\dfrac{3}{x^2}\)

Nếu đề là

\(y=\dfrac{x+3}{x}=1+\dfrac{3}{x}=1+3.x^{-1}=\left(-1\right).3.x^{\left(-1-1\right)}=-\dfrac{3}{x^2}\)

p/s: mình nghĩ theo logic không sai

Làm lại: phân tích nhân tử nhầm:

1) để y đi qua A(1,0) \(\Leftrightarrow1-\left(m+1\right)+\left(m-1\right)+1=0=0+0+0=0\Rightarrow dung..\forall m\)2) y(x)=\(x^2\left(x-1\right)-mx\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2-mx-1\right)\)

x^3-mx^2-x-x^2+mx+1=x^3-(m+1)x^2+(m-1)x+1 {không sai được nữa}

2)Để y cắt Ox tại hai điểm B,C cần

\(\left\{\begin{matrix}1-m-1\ne0\\x^2-mx-1=0co.2N_o\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}m\ne0\\\Delta=m^2+4>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ne0\)

\(\left\{\begin{matrix}x_b=\dfrac{m-\sqrt{m^2+4}}{2}\\x_c=\dfrac{m+\sqrt{m^2+4}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(y'\left(x\right)=3x^2-2\left(m+1\right)x+\left(m-1\right)\)

GIAO luu;

\(y=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-m\left(x^2-x\right)+\left(x^2-x\right)\)

m cần thỏa mãn 3 điều kiện

(1) y đi qua A; (2) có 3 nghiệm (3) tiếp tuyến //

Thỏa mãn ĐK(1)

\(y=\left(x-1\right)\left[x^2-\left(m-2\right)x+1\right]\)=>\(x=1\Rightarrow y=0\forall m\Rightarrow\) y luôn đi qua A(1;0)

kết luận (1) Đúng mọi m.(*)

Thỏa mãn ĐK (2)

Để y cắt Ox tại B,C phân biệt:

cần: \(\left\{\begin{matrix}x^2-\left(m-2\right)x+1=0\left(1\right)có.2N_0\\1-\left(m-2\right)+1\ne0\Rightarrow m\ne4\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\Delta_x>0\Rightarrow m^2-4m>0\Rightarrow\left[\begin{matrix}m< 0\\m>4\end{matrix}\right.\)

kết luận (2) \(\left\{\begin{matrix}m\ne4\\\left[\begin{matrix}m< 0\\m>4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}m< 0\\m>4\end{matrix}\right.\)(**)

Thỏa mãn ĐK (3)

\(y'=3x^2-2\left(m+1\right)x+\left(m-1\right)\)

Để Tiếp tuyến tại B//C cần: \(y'\left(x_b\right)=y'\left(x_c\right)\)

Thay \(x_b\&x_c\Rightarrow g\left(m\right)=0\Rightarrow m\)

p/s: "Hiểu thế nào làm thế đó, chưa biết đúng hay sai.Ai đi qua test hộ cái"

​điều kiện để 2 tt tại B ;C song song với nhau đâu ??? biết thì làm ko biết đừng có sức

\(y=\dfrac{\left(x+1\right)}{\sqrt{1-x}}\)

\(y^2=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{1-x}\)

\(y'=\dfrac{2\left(x+1\right)\left(1-x\right)+\left(x+1\right)^2}{2.\left(1-x\right)^2.\dfrac{\left(x+1\right)}{\sqrt{1-x}}}\)

cau a: \(y'=\dfrac{\sqrt{1-x}-\left(1+x\right)\left(\sqrt{1-x}\right)^'}{1-x}=\dfrac{\sqrt{1-x}-\left(1+x\right)\left(\dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}\right)}{1-x}=\dfrac{3-x}{2\left(\sqrt{1-x}\right)^2}\)câu b: \(y'=\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}-x\left(\dfrac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}\right)}{a^2-x^2}=\dfrac{a^2}{\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)^3}\)

câu b

\(y^2=\dfrac{x^2}{a^2-x^2}=\dfrac{a^2-\left(a^2-x^2\right)}{a^2-x^2}=\dfrac{a^2}{a^2-x^2}-1\)

\(y^2=\dfrac{a}{2}\left[\dfrac{1}{a-x}+\dfrac{1}{a+x}\right]-1\)

\(y^2=\dfrac{a}{2}\left[\dfrac{1}{a-x}+\dfrac{1}{a+x}\right]\)

\(VP'=\dfrac{a}{2}\left[\dfrac{1}{\left(a-x\right)^2}-\dfrac{1}{\left(a+x\right)^2}\right]=\dfrac{2a^2x}{\left(a^2-x^2\right)^2}\)

\(y'=\dfrac{4a^2x}{\dfrac{4.x}{\sqrt{a^2-x^2}}\left(a^2-x^2\right)^2}=\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(a^2-x^2\right)^3}}\)

khác gì đâu

mình dùng lớp 8 phân tích nhỏ ra thôi :

cần mỗi cái này: \(y=ax^n\Rightarrow y'=anx^{n-1}\)

bắt hết các loại gió mùa

@nguyen ngoc song thuy

Tập xác định: \(D= \mathbb{R}\setminus \{1\}\)

Ta có: \(y'=\dfrac{-1}{(x-1)^2} \ \forall x\in D\)

a) Do \(y_A=3\) và \(A\in (h)\) nên ta có:

\(\dfrac{2x_A-1}{x_A-1}=3 \Leftrightarrow x_A=2 \ \ (t/m)\)

Suy ra tiếp tuyến qua A của (h) là:

\(y-y_A=y'(x_A)(x-x_A)\\ \Leftrightarrow y-3=-1(x-2)\\ \Leftrightarrow x+y-5=0\)

Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến đó với (h) là \(B(x_B,y_B), \ x_B \ne 1\)

Do \(B\in(h)\) nên \(y_B=\dfrac{2x_B-1}{x_B-1}\)

Khi đó ta có:

\(MB=2 \Leftrightarrow \sqrt{(x_B)^2+(\dfrac{2x_B-1}{x_B-1}-1)^2}=2 \Leftrightarrow x^2_B+\dfrac{x^2_B}{(x_B-1)^2}=4 \\ \Leftrightarrow x^2_B(x_B-1)^2+x^2_B=4(x_B-1)^2 \Leftrightarrow x^4_B-2x^3_B-2x^2_B+8x_B-4=0\\ \Leftrightarrow (x^2_B-x_B+1)^2=5(x_B-1)^2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x^2_B-x_B+1=\sqrt{5}(x_B-1)\\ x^2_B-x_B+1=-\sqrt{5}(x_B-1) \end{array}{} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x^2_B-(\sqrt{5}+1)x_B+\sqrt{5}+1=0\ (vô nghiệm)\\ x^2_B+(\sqrt{5}-1)x_B+1-\sqrt{5}=0 \end{array}{} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} x_B=\dfrac{1-\sqrt{5}+\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}\\ x_B=\dfrac{1-\sqrt{5}-\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2} \end{array}{} \right.\\ \)Từ đó với cách tìm tiếp tuyến tương tự như câu (a) em sẽ viết được tiếp tuyến!

a : \(y=\dfrac{1}{\left(x^2-x+1\right)^5}=\left(x^2-x+1\right)^{-5}\)

\(\Rightarrow y'=-5\left(2x-1\right)\left(x^2-x+1\right)^{-6}=\dfrac{5-10x}{\left(x^2-x+1\right)^6}\)

b: \(y=x^2+x^{\dfrac{3}{2}}+1\Rightarrow y'=2x+\dfrac{3}{2}x^{\dfrac{1}{2}}=2x+\dfrac{3\sqrt{x}}{2}\)

\(y=\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x}}=\left(\dfrac{x^2+1}{x}\right)^{\dfrac{1}{2}}\Rightarrow y'=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2+1}{x}\right)'\left(\dfrac{x^2+1}{x}\right)^{\dfrac{-1}{2}}=\dfrac{x^2-1}{2x^2}\times\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x}}}=\dfrac{x^2-1}{2x^2\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x}}}\)