Bài tập cuối chương VII

Hướng dẫn giải

a) \(f\left( x \right) = 6{x^2} + 41x + 44\) có \(\Delta  = 625 > 0\), có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  - \frac{{11}}{2},{x_2} =  - \frac{4}{3}\) và có \(a = 6 > 0\)

Ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\)như sau:

 

Vậy \(f\left( x \right)\) dương trong khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{{11}}{2}} \right) \cup \left( { - \frac{4}{3}; + \infty } \right)\) và âm trong khoảng \(\left( { - \frac{{11}}{2}; - \frac{4}{3}} \right)\)

b) \(g\left( x \right) =  - 3{x^2} + x - 1\) có \(\Delta  =  - 11 < 0\) và có \(a =  - 3 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

 

Vậy \(g\left( x \right)\)luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

c) \(h\left( x \right) = 9{x^2} + 12x + 4\) có \(\Delta  = 0\), có nghiệm kép là \({x_1} = {x_2} =  - \frac{2}{3}\) và có \(a = 9 > 0\)

Ta có bảng xét dấu của \(h\left( x \right)\) như sau:

 

Vậy \(h\left( x \right)\) luôn dương khi \(x \ne  - \frac{2}{3}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Xét tam thức \(f\left( x \right) = 7{x^2} - 19x - 6\) có \(\Delta  = 529 > 0\), có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - \frac{2}{7},{x_2} = 3\) và có \(a = 7 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

 

Vậy nghiệm của bất phương trình là đoạn \(\left[ { - \frac{2}{7};3} \right]\)

b) \( - 6{x^2} + 11x > 10 \Leftrightarrow  - 6{x^2} + 11x - 10 > 0\)

Xét tam thức \(f\left( x \right) =  - 6{x^2} + 11x - 10\) có \(\Delta  =  - 119 < 0\)và có \(a =  - 6 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

 

Vậy bất phương trình vô nghiệm

c) \(3{x^2} - 4x + 7 > {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 6 > 0\)

Xét tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 6x + 6\) có \(\Delta  =  - 12 < 0\)và có \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

 

Vậy bất phương trình có vô số nghiệm

d) Xét tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 10x + 25\) có \(\Delta  = 0\), có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = 5\) và có \(a = 1 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

 

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x = 5\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Quan sát vào độ thị ta thấy đoạn mà đồ thị nằm dưới truch hoành là \(\left[ { - 2;\frac{5}{2}} \right]\)

Vậy nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 0,5x - 5 \le 0\) là đoạn  \(\left[ { - 2;\frac{5}{2}} \right]\)

b) Quan sát vào đồ thị ta thấy đồ thị luôn nằm dưới trục hoành

Vậy nghiệm của bất phương trình \( - 2{x^2} + x - 1 > 0\) vô nghiệm

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\sqrt {{x^2} - 7x}  = \sqrt { - 9{x^2} - 8x + 3} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - 7x =  - 9{x^2} - 8x + 3\\ \Rightarrow 10{x^2} + x - 3 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - \frac{3}{5}\) và \(x = \frac{1}{2}\)

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {{x^2} - 7x}  = \sqrt { - 9{x^2} - 8x + 3} \) thì ta thấy chỉ có nghiệm \(x =  - \frac{3}{5}\) thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - \frac{3}{5}\)

b) \(\sqrt {{x^2} + x + 8}  - \sqrt {{x^2} + 4x + 1}  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{x^2} + x + 8}  = \sqrt {{x^2} + 4x + 1} \\ \Rightarrow {x^2} + x + 8 = {x^2} + 4x + 1\\ \Rightarrow 3x = 7\\ \Rightarrow x = \frac{7}{3}\end{array}\)

Thay \(x = \frac{7}{3}\) vào phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 8}  - \sqrt {{x^2} + 4x + 1}  = 0\) ta thấy thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{7}{3}\)

c) \(\sqrt {4{x^2} + x - 1}  = x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4{x^2} + x - 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow 4{x^2} + x - 1 = {x^2} + 2x + 1\\ \Rightarrow 3{x^2} - x - 2 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - \frac{2}{3}\) và \(x = 1\)

Thay hai nghiệm trên vào phương trình \(\sqrt {4{x^2} + x - 1}  = x + 1\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình trên là \(x =  - \frac{2}{3}\) và \(x = 1\)

d) \(\sqrt {2{x^2} - 10x - 29}  = \sqrt {x - 8} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{x^2} - 10x - 29 = x - 8\\ \Rightarrow 2{x^2} - 11x - 21 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x =  - \frac{3}{2}\) và \(x = 7\)

Thay hai nghiệm \(x =  - \frac{3}{2}\) và \(x = 7\) vào phương trình  \(\sqrt {2{x^2} - 10x - 29}  = \sqrt {x - 8} \) ta thấy cả hai đều không thảo mãn phương trình

Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 10x - 29}  = \sqrt {x - 8} \) vô nghiệm

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Đặt cạnh huyền của tam giác là x (\(x > 8\))

Theo giải thiết ta tính được cạnh góc vuông là \(x - 8\)

Áp dụng định lý Pitago ta tính được cạnh góc vuông còn lại là \(\sqrt {{x^2} - {{\left( {x - 8} \right)}^2}}  = \sqrt {16x - 64} \)

Ta có chu vi của tam giác là \(x + \left( {x - 8} \right) + \sqrt {16x - 64}  = 30\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {16x - 64}  = 38 - 2x\\ \Rightarrow 16x - 64 = {\left( {38 - 2x} \right)^2}\\ \Rightarrow 16x - 64 = 1444 - 152x + 4{x^2}\\ \Rightarrow 4{x^2} - 168x + 1508 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow x = 13\) và \(x = 29\)

Thay \(x = 13\) và \(x = 29\) vào phương trình \(\sqrt {16x - 64}  = 38 - 2x\) ta thấy chỉ có \(x = 13\) thảo mãn phương trình

Vậy cạnh huyền có độ dài là 13 cm.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, khoảng thời gian bóng nằm ở độ cao 40 m là nghiệm của bất phương trình sau:

\(\begin{array}{l}h\left( t \right) > 40 \Leftrightarrow  - 4,9{t^2} + 30t + 2 > 40\\ \Leftrightarrow  - 4,9{t^2} + 30t - 38 > 0\end{array}\)

Xét tam thức \(f\left( t \right) =  - 4,9{t^2} + 30t - 38\) có \(\Delta  = 155,2 > 0\), có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} \simeq 1,8;{x_2} \simeq 4,3\) và có \(a =  - 4,9 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Từ đó cho thấy khoảng từ 1,8 s đến 4,3 s lag khoảng thời gian bóng cao so với mặt đất lớn hơn 40 m

Vậy quả bóng nằm ở độ cao trên 40 m trong thời gian 2,5 giây.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Khoảng thời gian cá heo ở trên không chính khoảng cá heo cao hơn mặt nước

Ta có bất phương trình \(h\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow  - 4,9{t^2} + 9,6t > 0\)

Xét tam thức \(f\left( t \right) =  - 4,9{t^2} + 9,6t\) có \(\Delta  = 92.16 > 0\), có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 0,{x_2} = \frac{{96}}{{49}}\) và có \(a =  - 4,9 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy khoảng thời gian cá heo ở trên không là khoảng \(\left( {0;\frac{{96}}{{49}}} \right)\) giây

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

15 triệu đồng = 15000 nghìn đồng

Từ giả thiết bài toán ta có bất phương trình \(p\left( x \right) \ge 15000 \Leftrightarrow  - 30{x^2} + 2100x - 15000 \ge 15000\)

\( \Rightarrow  - 30{x^2} + 2100x - 30000 \ge 0\)

Xét tam thức \(f\left( x \right) =  - 30{x^2} + 2100x - 30000\) có \(\Delta  = 810000 > 0\), có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 20,{x_2} = 50\) và \(a =  - 30 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng 20 đến 50 nghìn đồng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Để quả bóng có thể ném được qua lưới cao 2 m thì \(y = f\left( x \right) =  - 0,03{x^2} + 0,4x + 1,5 > 2\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) =  - 0,03{x^2} + 0,4x - 0,5 > 0\)

Xét tam thức \(f\left( x \right) =  - 0,03{x^2} + 0,4x - 0,5\) có \(\Delta  = 0,1 > 0\), có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} \simeq 1,4;{x_2} \simeq 11,9\) và có \(a =  - 0,03 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy để quả bóng có thể ném được qua lưới cao 2 m, người ta phải đứng cách lưới từ 1,4 cho đến 11,9 mét

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)