Bài tập cuối chương I

Hướng dẫn giải

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Nếu \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên (a; b).

Chọn B.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 9x\) có:

\(y' =  - 3{x^2} + 6x - 9 =  - 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 6 =  - 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 6 < 0\;\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó, hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 9x\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Chọn A.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Sử dụng kiến thức về định lí cực trị hàm số để tìm hàm không có cực trị: Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

+ Nếu \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì điểm \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

+ Nếu \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì điểm \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có: \(y' = 2x\ln x + \frac{{{x^2}}}{x} = 2x\ln x + x = x\left( {2\ln x + 1} \right)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt e }}\) (do \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\))

Bảng biến thiên:

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = 2\left( {x - 2} \right){e^x} + {e^x}{\left( {x - 2} \right)^2},y' = 0 \Leftrightarrow 2\left( {x - 2} \right){e^x} + {e^x}{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {e^x}\left( {2 + x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x.{e^x}\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\)

\(y\left( 0 \right) = 4;y\left( 1 \right) = e;y\left( 3 \right) = {e^3},y\left( 2 \right) = 0\)

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}.{e^x}\) trên đoạn [1; 3] là \({e^3}\).

Chọn B.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 2\) nên đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1\) nên đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) không có tiệm cận đứng.

Chọn B.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x + 2}} = x - \frac{2}{{x + 2}}\)

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x - \frac{2}{{x + 2}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  - \frac{2}{{x + 2}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {x - \frac{2}{{x + 2}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  - \frac{2}{{x + 2}} = 0\)

Do đó, đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x + 2}}\).

Chọn D.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) =  - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 7\) nên đường thẳng \(x = 1\) không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Chọn D.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số trong hình 1.37 có tiệm cận ngang là \(y = 2\).

Xét hàm số: \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 2\) nên đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận ngang là \(y = 2\).

Đường thẳng \(y = 2\) không là tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\); \(y = \frac{{x + 3}}{{1 - x}}\); \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\).

Chọn B.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số trong hình 1.38 có dạng: \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{px + q}}\left( {a \ne 0,p \ne 0} \right)\) và đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu. Do đó, loại đáp án B.

Đồ thị hàm số trong hình 1.38 đi qua điểm \[\left( { - 2; - 3} \right)\]. Do đó, loại đáp án C.

Đồ thị hàm số trong hình 1.38 đi qua điểm (0; 1). Do đó, loại đáp án A.

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\) có:

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} =  - \infty \) nên đường thẳng \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x + \frac{1}{{x + 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {x + \frac{1}{{x + 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0\) nên đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn D.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)