Bài tập cuối chương I

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2},y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) không có cực trị.

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

 Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) đạt cực đại tại \(x = 0\) và .

Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) đạt cực tiểu tại \(x =  \pm 1\) và \({y_{CT}} =  - 2\).

c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{2\left( {3x + 1} \right) - 3\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} > 0\;\forall x \ne \frac{{ - 1}}{3}\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x + 1}}\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1}}{3}; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

d) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right)\).

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đạt cực đại tại \(x =  - 2\) và .

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\) và \({y_{CT}} = 2\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(y' = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}} < 0\;\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)\)

Nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} y = y\left( 2 \right) = \frac{{2.2 + 1}}{{3.2 - 2}} = \frac{5}{4}\) , hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

b) Tập xác định: \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

\(y' = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {2 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }},y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn)

\(y\left( { - \sqrt 2 } \right) = y\left( {\sqrt 2 } \right) = 0;y\left( 0 \right) = \sqrt 2 \)

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} y = y\left( { - \sqrt 2 } \right) = y\left( {\sqrt 2 } \right) = 0;\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} y = y\left( 0 \right) = \sqrt 2 \)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} =  + \infty \)

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\) là đường thẳng \(x =  - 1\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\) nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\) đường thẳng \(y = 3\).

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} =  - \infty \)

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}\) là đường thẳng \(x = \frac{1}{2}\).

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = \frac{x}{2} + \frac{5}{4} + \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}}\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {\frac{x}{2} + \frac{5}{4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {\frac{x}{2} + \frac{5}{4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}} = 0\)

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}\) là đường thẳng \(y = \frac{x}{2} + \frac{5}{4}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} =  + \infty \) nên đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}\) không có tiệm cận ngang.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) 1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y' = - 3{x^2} + 12x - 9,y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 12x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 3\), giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = 8\)

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{6}{x} - \frac{9}{{{x^2}}} + \frac{{12}}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{6}{x} - \frac{9}{{{x^2}}} + \frac{{12}}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12\) với trục tung là (0; 12).

Đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12\) đi qua các điểm (1; 8); (3; 12); (4; 8).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (2; 10).

b) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

2. Sự biến thiên:

\(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\forall x \ne - 1\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = - \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = 2\) làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0; - 1} \right)\).

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(-1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

c) 1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = x - 1 - \frac{1}{{x - 1}}\)

\(y' = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\;\forall x \ne 1\)

Do đó, hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - 1 - \frac{1}{{x - 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } - \frac{1}{{x - 1}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - 1 - \frac{1}{{x - 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } - \frac{1}{{x - 1}} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = 1\) làm tiệm cận đứng và đường thẳng \(y = x - 1\) làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

 

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 0).

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\)

Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại các điểm (0; 0) và (2; 0)

Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 0) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f} \Rightarrow q = \frac{{pf}}{{p - f}}\). Do đó, \(q = g\left( p \right) = \frac{{pf}}{{p - f}}\) với \(p \in \left( {f; + \infty } \right)\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{p \to  + \infty } g\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to  + \infty } \frac{{pf}}{{p - f}} = \mathop {\lim }\limits_{p \to  + \infty } \frac{f}{{1 - \frac{f}{p}}} = f,\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} \frac{{pf}}{{p - f}} =  + \infty \)

Ý nghĩa của \(\mathop {\lim }\limits_{p \to  + \infty } g\left( p \right) = f\): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.

Ý nghĩa của \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right) =  + \infty \): Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự f thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.

c) Ta có: \(q' = g'\left( p \right) = \frac{{ - {f^2}}}{{{{\left( {p - f} \right)}^2}}} < 0\;\forall p \in \left( {f; + \infty } \right)\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( {f; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên:

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: \(N\left( 7 \right) = 100{e^{0,012.7}} = 100{e^{0,084}} = 108,763\) (triệu người)

Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: \(N\left( {12} \right) = 100{e^{0,012.12}} = 100{e^{0,144}} = 115,488\) (triệu người)

b) Trên đoạn [0; 50] ta có: \(N'\left( t \right) = 0,012.100{e^{0,012t}} = 1,2{e^{0,012t}} > 0\;\forall t \in \left[ {0;50} \right]\)

Do đó, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].

c) Ta có: \(N'\left( t \right) = 1,2{e^{0,012t}}\)

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:

\(1,6 = 1,2{e^{0,012t}} \Leftrightarrow {e^{0,012t}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow t = \frac{{250\ln \frac{4}{3}}}{3} \approx 23,97\)

Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Đặt \(MB = x\left( {km,0 \le x \le 10} \right)\), khi đó, \(AM = 10 - x\) (km) và \(MC = \sqrt {M{B^2} + C{B^2}}  = \sqrt {{x^2} + 16} \) (km)

Khi đó, chi phí nối điện từ A đến C là: \(f\left( x \right) = 30\left( {10 - x} \right) + 50\sqrt {{x^2} + 16} \) (triệu đồng)

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow 25{x^2} = 9{x^2} + 144 \Leftrightarrow x = 3\) (do \(0 \le x \le 10\))

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 500;f\left( 3 \right) = 460,f\left( {10} \right) = 100\sqrt {29} \) nên chi phí nhỏ nhất là 460 triệu đồng khi \(x = 3\)

Vậy M cách B một khoảng 3km trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) thì tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)