Bài tập cuối chương 9

Hướng dẫn giải

a) Ta có OO’ = OH + O’H = R + R’ và O; H; H’ thẳng hàng.

Suy ra hai đường tròn tiếp xúc nhau.

b) Xét đường tròn (O) có BH là đường kính

 là góc nội tiếp chắn cung BH suy ra \(\widehat {BEH}\)= 90^o hay AB \( \bot \) EH tại E.

Xét đường tròn (O’) có HC là đường kính

\(\widehat {HFC}\) là góc nội tiếp chắn cung HC suy ra \(\widehat {HFC}\)= 90^o hay AC \( \bot \) HF tại F.

Xét tứ giác AEHF có: 

\(\widehat {HEA} = {90^o}\) (chứng minh trên);

\(\widehat {EAF} = {90^o}\) (giả thiết);

\(\widehat {AFH} = {90^o}\) (chứng minh trên).

Suy ra tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

c) Vì OE = OH = R nên \(\Delta \)OEH cân tại O suy ra \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\).

Ta có \(\widehat {BHE} = {90^o} - \widehat B\); \(\widehat {BAH} = {90^o} - \widehat B\) suy ra \(\widehat {BHE} = \)\(\widehat {BAH}\).

Mà \(\widehat {OEH} = \widehat {BHE}\) (chứng minh trên); \(\widehat {BHA} = \widehat {AEF}\) (tính chất hình chữ nhật).

Suy ra \(\widehat {OEH} = \widehat {AEF}\) hay \(\widehat {OEH} + \widehat {HEF} = \widehat {AEF} + \widehat {HEF}\) suy ra \(\widehat {OEF} = \widehat {AEH} = {90^o}\).

Nên EF \( \bot \) OE tại E; E \( \in \) (O)

Suy ra EF là đường trung tuyến đường tròn (O) (1).

Vì O’F = O’H = R’ nên tam giác O’HF cân tại O’ suy ra \(\widehat {O'HF} = \widehat {O'FH}\)

Mà \(\widehat {AHF} = \widehat {EFH}\) (tính chất hình chữ nhật)

Nên \(\widehat {O'HF} + \widehat {AFH} = \widehat {O'HF} + \widehat {EFH}\) hay \(\widehat {O'FE} + \widehat {AHC} = {90^o}\).

Nên EF \( \bot \) O’F tại F; F \( \in \) (O’)

Suy ra EF là đường trung tuyến đường tròn (O’) (2).

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

d) Ta có: \(\widehat {AEF} = \widehat {BAH} = {90^o} - \widehat B\) (tổng ba góc trong của tam giác).

\(\widehat C = {90^o} - \widehat B\) (tổng ba góc trong của tam giác).

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {BAH} = \widehat C\) mà \(\widehat C = \widehat {NAF}\) (do AM = MC = BM = \(\frac{1}{2}\) BC nên \(\Delta \) AMC cân tai M).

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {NAF}\).

Xét \(\Delta \)ANF và \(\Delta \)EAF có: 

\(\widehat {NFA}\) chung

\(\widehat {AEF} = \widehat {NAF}\) (chứng minh trên).

Suy ra \(\Delta \)ANF đồng dạng \(\Delta \)EAF (g – g)

Suy ra \(\frac{{{S_{\Delta ANF}}}}{{{S_{\Delta EAF}}}} = \frac{{A{F^2}}}{{E{F^2}}} = \frac{{A{F^2}}}{{A{H^2}}}\) (EF = AH do AEHF là hình chữ nhật).

Xét \(\Delta \)AEF và \(\Delta \)ABC có: 

\(\widehat {EAF}\) chung

\(\widehat {AEF} = \widehat C\) (chứng minh trên).

Suy ra \(\Delta \)AEF đồng dạng \(\Delta \)ABC (g – g)

\(\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{B{F^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}}\) (EF = AH do AEHF là hình chữ nhật).

Ta có \(E{F^2} = A{H^2} = \frac{{A{B^2}.A{C^2}}}{{A{B^2} + A{C^2}}} = \frac{{{8^2}{{.6}^2}}}{{{8^2} + {6^2}}} = 23,04\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Suy ra AH = 4,8 cm.

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² =100 (Định lý Pytagore).

Suy ra BC = 10 cm.

AH² = AF.AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Nên \(A{F^2} = \frac{{A{H^2}}}{{AC}} = \frac{{4,{8^2}}}{8}\) = 2,88 cm.

Vậy \(\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{4,{8^2}}}{{{{10}^2}}} = \frac{{144}}{{625}}\)

suy ra \({S_{\Delta AEF}} = \frac{{144}}{{625}}.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{144}}{{625}}.\frac{1}{2}.AB.AC\)= 5,53 cm².

\(\frac{{{S_{\Delta ANF}}}}{{{S_{\Delta EAF}}}} = \frac{{A{F^2}}}{{A{H^2}}} = \frac{{2,{{88}^2}}}{{4,{8^2}}} = \frac{9}{{25}}\)suy ra \({S_{\Delta ANF}} = \frac{9}{{25}}.{S_{\Delta EAF}}\) = 1,99cm².

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đa giác có tên gọi là thập nhị giác đều. 12 đỉnh của đa giác chia đường tròn thành 12 phần bằng nhau nên số đo mỗi cung là 360^o : 12 = 30^o.

Do đó các phép quay biến nó thành chính nó là các phép quay: 30^o, 60^o, 90^o, 120^o, 150^o, 180^o, 210^o, 240^o, 270^o, 300^o, 330^o hoặc 360^o theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ.

(Trả lời bởi datcoder)