Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 30 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2. Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.
Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 30 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2. Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.
Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là \(v\left(t\right)=-\dfrac{2t}{5}+4\) (km/h). Nếu coi thời điểm ban đầu t = 0 là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {\frac{{ - 2t}}{5} + 4} \right)dt} = \frac{{ - {t^2}}}{5} + 4t + C\)
Vì thời điểm ban đầu \(t = 0\) là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông nên \(s\left( 0 \right) = 0\), do đó, \(C = 0\). Suy ra, \(s\left( t \right) = \frac{{ - {t^2}}}{5} + 4t = \frac{{ - 1}}{5}\left( {{t^2} - 20t} \right) = \frac{{ - 1}}{5}{\left( {t - 10} \right)^2} + 20 \le 20\) \(\forall t \ge 0\).
Vậy khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là 20km.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits^4_1\left(x^3-2\sqrt{x}\right)dx\); b) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(\cos x-\sin x\right)dx\); c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{dx}{\sin^2x}\); d) \(\int\limits^{16}_1\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int\limits_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} = \left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{4x\sqrt x }}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right. = \frac{{{4^4}}}{4} - \frac{{4.4\sqrt 4 }}{3} - \frac{1}{4} + \frac{{4.1\sqrt 1 }}{3} = \frac{{653}}{{12}}\)
b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} = \left( {\sin x + \cos x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = \sin \frac{\pi }{2} + \cos \frac{\pi }{2} - \sin 0 - \cos 0 = 1 - 1 = 0\)
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \cot x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. = - \cot \frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{6} = - 1 + \sqrt 3 \)
d) \(\int\limits_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} = \int\limits_1^{16} {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {x^{\frac{{ - 1}}{2}}}} \right)dx} = \left( {\frac{{2x\sqrt x }}{3} - 2\sqrt x } \right)\left| \begin{array}{l}16\\1\end{array} \right. = \frac{{2.16\sqrt {16} }}{3} - 2\sqrt {16} - \frac{2}{3} + 2 = 36\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex, y = x, x = 0 và x = 1.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiDiện tích hình phẳng cần tính là:
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x} - x} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - x} \right)dx} = \left( {{e^x} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = e - \frac{1}{2} - {e^0} + 0 = e - \frac{3}{2}\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:
a) y = 1 – x2, y = 0, x = −1, x = 1; b) \(y=\sqrt{25-x^2},y=0,x=2,x=4\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Thể tích khối tròn xoay cần tính là:
\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - 2{x^2} + {x^4}} \right)dx} = \pi \left( {x - \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\ - 1\end{array} \right.\)
\( = \pi \left( {1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}} \right) = \frac{{16}}{{15}}\pi \)
b) Thể tích khối tròn xoay cần tính là:
\(V = \pi \int\limits_2^4 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx} = \pi \left( {25x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}4\\2\end{array} \right. = \pi \left( {25.4 - \frac{{{4^3}}}{3} - 25.2 + \frac{{{2^3}}}{3}} \right) = \frac{{94}}{3}\pi \)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số \(y=\dfrac{1}{175}x^2+\dfrac{3}{35}x+5\left(0\le x\le30\right)\) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu cm3 đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\pi \int\limits_0^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_0^{30} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{30}^{31} {{{\left( {\frac{1}{{175}}{x^2} + \frac{3}{{35}}x + 5} \right)}^2}dx} \)
\( = \pi \int\limits_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{9}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{{6{x^3}}}{{6125}} + \frac{{6x}}{7} + \frac{2}{{35}}{x^2}} \right)dx} \)
\( = \pi \int\limits_{30}^{31} {\left( {\frac{1}{{{{175}^2}}}{x^4} + \frac{{79}}{{1225}}{x^2} + 25 + \frac{{6{x^3}}}{{6125}} + \frac{{6x}}{7}} \right)dx} \)
\( = \pi \left( {\frac{{{x^5}}}{{153125}} + \frac{{79{x^3}}}{{3675}} + 25x + \frac{{3{x^4}}}{{12250}} + \frac{{3{x^2}}}{7}} \right)\left| \begin{array}{l}31\\30\end{array} \right.\)
\( = \pi \left( {\frac{{2058364381}}{{918750}} - \frac{{101586}}{{49}}} \right) \approx 167,21\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Vậy để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng khoảng \(167,21\pi \;c{m^3}\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)