Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8”, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính \({1002^2}\). Chỉ vài giây sau, Nam đã tính ra kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.
Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
a) \(x + 2 = 3x + 1\)
b) \(2x\left( {x + 1} \right) = 2{x^2} + 2x\)
c) \(\left( {a + b} \right)a = {a^2} + ba\)
d) \(a - 2 = 2a + 1\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(x + 2 = 3x + 1\) không là hằng đẳng thức vì khi ta thay \(x = 0\) thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.
b) \(2x\left( {x + 1} \right) = 2{x^2} + 2x\) là hằng đẳng thức vì với mọi giá trị của x thì hai vế bằng nhau.
c) \(\left( {a + b} \right)a = {a^2} + ba\) là hằng đẳng thức vì với mọi giá trị của a, b thì hai vế bằng nhau.
d) \(a - 2 = 2a + 1\) không là hằng đẳng thức vì khi ta thay \(a = 0\) thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Thay ? bằng biểu thức thích hợp.
a) \(\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right) = {x^2} - ?\);
b) \(\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right) = 4? - {y^2}\);
c) \({x^2} + 8xy + ? = {\left( {? + 4y} \right)^2}\);
d) \(? - 12xy + 9{y^2} = {\left( {2x - ?} \right)^2}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right) = {x^2} - 9{y^2}\);
b) \(\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right) = 4{x^2} - {y^2}\);
c) \({x^2} + 8xy + 16{y^2} = {\left( {x + 4y} \right)^2}\);
d) \(4{x^2} - 12xy + 9{y^2} = {\left( {2x - 3y} \right)^2}\).
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Tính nhanh:
a) \(54.66\);
b) \({203^2}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(54.66 = \left( {60 - 6} \right).\left( {60 + 6} \right) = {60^2} - {6^2} = 3600 - 36 = 3564\)
b) \({203^2} = {\left( {200 + 3} \right)^2} = {200^2} + 2.200.3 + {3^2} = 40000 + 1200 + 9 = 41209\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) \({x^2} + 4x + 4\)
b) \(16{a^2} - 16ab + 4{b^2}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \({x^2} + 4x + 4 = {x^2} + 2.x.2 + {2^2} = {\left( {x + 2} \right)^2}\)
b) \(16{a^2} - 16ab + 4{b^2} = {\left( {4a} \right)^2} - 2.4a.2b + {\left( {2b} \right)^2} = {\left( {4a - 2b} \right)^2}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) \({\left( {x - 3y} \right)^2} - {\left( {x + 3y} \right)^2}\)
b) \({\left( {3x + 4y} \right)^2} + {\left( {4x - 3y} \right)^2}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \({\left( {x - 3y} \right)^2} - {\left( {x + 3y} \right)^2} = \left( {x - 3y + x + 3y} \right).\left( {x - 3y - x - 3y} \right) = \left( {2x} \right).\left( { - 6y} \right) = - 12xy\)
b)
\(\begin{array}{l}{\left( {3x + 4y} \right)^2} + {\left( {4x - 3y} \right)^2} = {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2} + {\left( {4x} \right)^2} - 2.4x.3y + {\left( {3y} \right)^2}\\ = 9{x^2} + 24xy + 16{y^2} + 16{x^2} - 24xy + 9{y^2}\\ = \left( {9{x^2} + 16{x^2}} \right) + \left( {24xy - 24xy} \right) + \left( {16{y^2} + 9{y^2}} \right)\\ = 25{x^2} + 25{y^2}\end{array}\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có:
\({\left( {n + 2} \right)^2} - {n^2}\) chia hết cho 4.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có:
\({\left( {n + 2} \right)^2} - {n^2} = \left( {n + 2 - n} \right).\left( {n + 2 + n} \right) = 2.\left( {2n + 2} \right) = 2.2.\left( {n + 1} \right) = 4.\left( {n + 1} \right)\).
Vì \(4 \vdots 4\) nên \(4\left( {n + 1} \right) \vdots 4\) với mọi số tự nhiên n.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)