Bài 4. Khoảng cách trong không gian

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy lớn là: \(S = {5^2} = 25\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích đáy bé là: \(S' = {2^2} = 4\left( {{m^2}} \right)\)

Thể tích của bồn chứa là: \(V = \frac{1}{3}.3\left( {25 + \sqrt {25.4}  + 4} \right) = 39\left( {{m^3}} \right)\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy của lăng trụ là: \(\frac{1}{2}.7.24 = 84\left( {c{m^2}} \right)\)

Thể tích cái nêm hình lăng trụ đứng là: \(84.22 = 1848\left( {c{m^3}} \right)\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Kẻ \(OI \bot C{\rm{D}}\left( {I \in C{\rm{D}}} \right),OH \bot SI\left( {H \in SI} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot C{\rm{D}}\\OI \bot C{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SOI} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot OH\\OH \bot SI\end{array} \right\} \Rightarrow OH \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\ \Rightarrow d\left( {O,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = OH\end{array}\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AC = a \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}\)

\(\Delta ABD\) có \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {120^ \circ } \Rightarrow B{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2} - 2{\rm{A}}B.A{\rm{D}}}  = a\sqrt 3  \Rightarrow OD = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta OCD\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OI\)

\( \Rightarrow OI = \frac{{OC.O{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OI \Rightarrow \Delta SOI\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OH\)

\( \Rightarrow OH = \frac{{SO.OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }} = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\)

Vậy \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\).

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

 

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(C\)\( \Rightarrow CI \bot AB\)

\(\Delta ABD\) cân tại \(D\)\( \Rightarrow DI \bot AB\)

\( \Rightarrow AB \bot \left( {C{\rm{D}}I} \right) \Rightarrow AB \bot C{\rm{D}}\)

b) Kẻ \(IH \bot C{\rm{D}}\left( {H \in C{\rm{D}}} \right)\)

\(AB \bot \left( {C{\rm{D}}I} \right) \Rightarrow AB \bot IH\)

Vậy \(IH\) là đoạn vuông góc chung của \(AB\) và \(C{\rm{D}}\).

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(O\) là tâm của đáy

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AB\)

\(I\) là trung điểm của \(AB\)

\(J\) là trung điểm của \(C{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow IJ\) là đường trung bình của hình vuông \(ABCD\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow IJ\parallel A{\rm{D}}\\AB \bot A{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow IJ \bot AB\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}SO \bot AB\\IJ \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SIJ} \right)\)

b) Kẻ \(IH \bot SJ\left( {H \in SJ} \right),OK \bot SJ\left( {K \in SJ} \right) \Rightarrow IH\parallel OK\)

\(O\) là trung điểm của \(IJ \Rightarrow IH = 2{\rm{O}}K\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AB\parallel C{\rm{D}}\\C{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB\parallel \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AB \bot \left( {SIJ} \right)\\C{\rm{D}}\parallel AB\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SIJ} \right) \Rightarrow C{\rm{D}} \bot IH\\ & IH \bot SJ\end{array} \right\} \Rightarrow IH \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\ \Rightarrow d\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = d\left( {AB,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = IH\end{array}\)

\(O\) là trung điểm của \(IJ\), \(IH\parallel {\rm{O}}K\)\( \Rightarrow IH = 2{\rm{O}}K\)

\(O\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\)

\(J\) là trung điểm của \(C{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow OJ\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\)

\( \Rightarrow OJ = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Delta SAO\) vuông tại \(O\)\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

\(\Delta SOJ\) vuông tại \(O\) có đường cao \(OK\)

\( \Rightarrow OK = \frac{{SO.OJ}}{{\sqrt {S{O^2} + O{J^2}} }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\)

\( \Rightarrow d\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = IH = 2OK = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\)

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AI \bot BC\)

Tam giác \(A'BC\) cân tại \(A' \Rightarrow A'I \bot BC\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'I,AI} \right) = \widehat {AI{\rm{A}}'} = {60^ \circ }\)

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow AA' = AI.\tan \widehat {AI{\rm{A}}'} = \frac{{3a}}{2}\)

b) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Vì tay vịn cầu song song với mặt đường nên khoảng cách giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chính bằng khoảng cách từ đường thẳng \(a\) xuống mặt đường.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) bằng: \(3,5 + 0,8 = 4,3\left( m \right)\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}}\)

\(ABCD\) là hình thoi \( \Rightarrow AC \bot B{\rm{D}} \Rightarrow AO \bot B{\rm{D}}\)

\(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AO\)

\( \Rightarrow d\left( {B{\rm{D}},AA'} \right) = AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

b) Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BO = \sqrt {A{B^2} - A{O^2}}  = \frac{a}{2} \Rightarrow B{\rm{D}} = 2BO = a\\{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}AC.B{\rm{D}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\\{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC{\rm{D}}}}.AA' = \frac{{3{a^3}}}{4}\end{array}\)

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

a) Kẻ \(OH \bot SB\left( {H \in SB} \right)\)

\(S.ABC{\rm{D}}\) là chóp tứ giác đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AC\)

\(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot B{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow AC \bot \left( {SB{\rm{D}}} \right) \Rightarrow AC \bot OH\)

Mà \(OH \bot SB\)

\( \Rightarrow d\left( {AC,SB} \right) = OH\)

\(B{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Delta SBO\) vuông tại \(O \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Delta SBO\) vuông cân tại \(O\) có đường cao \(OH\)

\( \Rightarrow d\left( {AC,SB} \right) = OH = \frac{1}{2}SB = \frac{a}{2}\)

b) \({S_{ABC{\rm{D}}}} = A{B^2} = {a^2}\)

\({V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}{S_{ABC{\rm{D}}}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

(Trả lời bởi Kiều Sơn Tùng)

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy lớn của khối chóp cụt lục giác đều:

$[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 ]$

Thể tích của khối chóp cụt:

$[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h ]$

(Trả lời bởi HaNa)