Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Hướng dẫn giải

a) \(y' = 3{x^2} - 6x\)

\(y'' = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Thay x = 1 vào \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) ta được y = 0. Vậy I(1;0)

b) \(y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và \({y_{cd}} = 2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và \({y_{ct}} =  - 2\)

Trung điểm của đoạn thẳng nối 2 cực trị sẽ có tọa độ \((\frac{{0 + 2}}{2};\frac{{2 + ( - 2)}}{2})\) hay (1;0). Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 cực trị

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(y = 3 + \frac{1}{x}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

- Chiều biến thiên:

\(y' =  - \frac{1}{{{x^2}}} < 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D

- Tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (3 + \frac{1}{x}) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (3 + \frac{1}{x}) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (3 + \frac{1}{x}) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (3 + \frac{1}{x}) =  - \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

- Bảng biến thiên:

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow 3 + \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{3}\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\( - \frac{1}{3}\); 0)

b) \(y = \frac{{x - 3}}{{1 - x}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)

Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(1 - x)}^2}}} < 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D

Tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 3}}{{1 - x}} =  - 1\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 3}}{{1 - x}} =  - 1\) nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{1 - x}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{1 - x}} =  - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao của đồ thị hàm số với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (3; 0)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(y = x - \frac{1}{x}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \)

- Chiều biến thiên:

\(y' = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 0\forall x \in D\) nên hàm số đồng biến trên D

- Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x - \frac{1}{x}) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (x - \frac{1}{x}) =  - \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (1 - \frac{1}{{{x^2}}}) = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x - \frac{1}{x} - x) = 0\) nên y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x - \frac{1}{x}) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (x - \frac{1}{x}) =  + \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

- Bảng biến thiên:

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)

b) \(y =  - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1\} \)

- Chiều biến thiên:

\(y' =  - 1 + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 0\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( - \infty \); -2), (0; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

- Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  + \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2} + x}}) =  - 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} + x) = 2\) nên y = -x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  + \infty \) nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

- Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0;1) là giao điểm của y với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow  - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\); 0) và (\(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\);0)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(y = {x^3} + x - 2\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

- Chiều biến thiên:

\(y' = 3{x^2} + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

- Cực trị:

Hàm số không có cực trị

 Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ({x^3} + x - 2) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({x^3} + x - 2) =  + \infty \)

- Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -2 nên (0; -2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1; 0)

b) \(y = 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

- Chiều biến thiên:

\(y' = 6{x^2} + 2x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2}\\x = \frac{1}{6}\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( - \infty \); \( - \frac{1}{2}\)), (\(\frac{1}{6}\); \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (\( - \frac{1}{2}\); \(\frac{1}{6}\)) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = \( - \frac{1}{2}\) và \({y_{cd}} =  - \frac{{11}}{4}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = \(\frac{1}{6}\) và \({y_{ct}} =  - \frac{{329}}{{108}}\)

- Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3) =  + \infty \)

- Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} - \frac{1}{2}x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1,06\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1,06; 0)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(y = \frac{{3x}}{{x - 3}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \)

- Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{{ - 9}}{{{{(x - 3)}^2}}} \le 0 \Leftrightarrow \forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên \(D\)

- Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x}}{{x - 3}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (\frac{{3x}}{{x - 3}}) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{3x}}{{x - 3}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{3x}}{{x - 3}} =  - \infty \) nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

- Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 0 nên (0;0) là giao điểm của y với trục Oy, Ox

b) Để ảnh của vật là ảnh thật thì d’ > 0 hay y > 0 => x < 0 hoặc x > 3 hay d > 3 (do d là khoảng cách từ vật đến thấu kính nên d không thể nhỏ hơn 0)

Để ảnh của vật là ảnh ảo thì d’ < 0 hay y < 0 => 0 < x < 3 hay 0 < d < 3

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính tiến dần tới vô cùng, ảnh của vật dần biến thành ảnh ảo 

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)

- Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} \le 0\forall x \in D\)nên hàm số nghịch biến trên D

- Tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1\) nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} =  - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -1 nên (0; -1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)

b) \(y = \frac{{2x}}{{3x - 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ \frac{1}{3}\} \)

- Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(3x - 1)}^2}}} \le 0\forall x \in D\) nên hàm số nghịch biến trên D

- Tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x}}{{3x - 1}} = \frac{2}{3};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x}}{{3x - 1}} = \frac{2}{3}\) nên y = \(\frac{2}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ + }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ - }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} =  - \infty \) nên x = \(\frac{1}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

- Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{3x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (0; 0)

c) \(y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \)

- Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{7}{{{{(2 - x)}^2}}} \ge 0\forall x \in D\) nên hàm số đồng biến trên D

- Tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5 + x}}{{2 - x}} =  - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{5 + x}}{{2 - x}} =  - 1\) nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} =  + \infty \) nên x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

- Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = \(\frac{5}{2}\) nên (0; \(\frac{5}{2}\)) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = 0 \Leftrightarrow x =  - 5\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-5; 0)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

- Chiều biến thiên:

\(y' =  - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Trên các khoảng (\( - \infty \); 2) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (2; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x =2 và \({y_{cd}} = 1\)

- Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - {x^2} + 4x - 3) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - {x^2} + 4x - 3) =  + \infty \)

- Bảng biến thiên:

 

b) Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (1; 0) và (3; 0)

Điểm (2; 1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số

 

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(y =  - 2{x^3} - 3{x^2} + 1\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

- Chiều biến thiên:

\(y' =  - 6{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\end{array} \right.\)

Trên các khoảng (\( - \infty \); -1), (0; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và \({y_{cd}} = 1\)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{ct}} = 0\)

- Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - 2{x^3} - 3{x^2} + 1) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - 2{x^3} - 3{x^2} + 1) =  - \infty \)

- Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow  - 2{x^3} - 3{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (-1; 0) và (\(\frac{1}{2}\); 0)

b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

- Chiều biến thiên:

\(y' = 3{x^2} + 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

\(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\)nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

- Cực trị:

Hàm số không có cực trị

- Các giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1) =  + \infty \)

- Bảng biến thiên:

 

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0; 1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(y = \frac{{500}}{{2x}} = \frac{{250}}{x}\)

b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là: \(S(x) = 2.2(x + y) + 2xy = 4(x + \frac{{250}}{x}) + 2.x.\frac{{250}}{x} = 500 + 4x + \frac{{1000}}{x}\)

c) Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)

Chiều biến thiên:

\(S'(x) = 4 - \frac{{1000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt {10} \\x =  - 5\sqrt {10} (loai)\end{array} \right.\)

Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (500 + 4x + \frac{{1000}}{x}) =  - \infty \)

Bảng biến thiên:

d) Để S(x) nhỏ nhất thì x = \(15,8\)(cm) và \(y = \frac{{250}}{x} = \frac{{250}}{{5\sqrt {10} }} \approx 15,8\)(cm)

(Trả lời bởi datcoder)